Analysis Beispiele

$4 x^{3} + 2 x - 36$

Schritt 1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3} + 2 x - 36$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$2 (2 x^{3}) + 2 x - 36$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$2 (2 x^{3}) + 2 (x) - 36$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$2 (2 x^{3}) + 2 x + 2 \cdot - 18$

Schritt 1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3}) + 2 x$ heraus.

$2 (2 x^{3} + x) + 2 \cdot - 18$

Schritt 1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3} + x) + 2 \cdot - 18$ heraus.

$2 (2 x^{3} + x - 18)$

Schritt 2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2 x^{3} + x - 18$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 18, \pm 9, \pm 2, \pm 4.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 6$

Schritt 2.1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2 \cdot 2^{3} + 2 - 18$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 \cdot 8 + 2 - 18$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 + 2 - 18$

Schritt 2.1.3.4

Addiere $16$ und $2$ .

$18 - 18$

Schritt 2.1.3.5

Subtrahiere $18$ von $18$ .

$0$

Schritt 2.1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} + x - 18}{x - 2}$

Schritt 2.1.5

Dividiere $2 x^{3} + x - 18$ durch $x - 2$ .

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Schritt 2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$18$

Schritt 2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$18$

Schritt 2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} - 4 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Schritt 2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$x$

Schritt 2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$x$

Schritt 2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{2} - 8 x$

				$2 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Schritt 2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$

Schritt 2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Schritt 2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $9 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$4 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Schritt 2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$4 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							+	$9 x$	-	$18$

Schritt 2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $9 x - 18$

				$2 x^{2}$	+	$4 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$

Schritt 2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$4 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$
										$0$

Schritt 2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} + 4 x + 9$

Schritt 2.1.6

Schreibe $2 x^{3} + x - 18$ als eine Menge von Faktoren.

$2 ((x - 2) (2 x^{2} + 4 x + 9))$

Schritt 2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x - 2) (2 x^{2} + 4 x + 9)$