Analysis Beispiele

$- 2 x^{3} + 17 x - 3$

Schritt 1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{3} + 17 x - 3$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$- (2 x^{3}) + 17 x - 3$

Schritt 1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $17 x$ heraus.

$- (2 x^{3}) - (- 17 x) - 3$

Schritt 1.3

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$- (2 x^{3}) - (- 17 x) - 1 (3)$

Schritt 1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{3}) - (- 17 x)$ heraus.

$- (2 x^{3} - 17 x) - 1 (3)$

Schritt 1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{3} - 17 x) - 1 (3)$ heraus.

$- (2 x^{3} - 17 x + 3)$

Schritt 2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2 x^{3} - 17 x + 3$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 3, \pm 1.5$

Schritt 2.1.3

Setze $- 3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.3.1

Setze $- 3$ in das Polynom ein.

$2 {(- 3)}^{3} - 17 \cdot - 3 + 3$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$2 \cdot - 27 - 17 \cdot - 3 + 3$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 27$ .

$- 54 - 17 \cdot - 3 + 3$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $- 17$ mit $- 3$ .

$- 54 + 51 + 3$

Schritt 2.1.3.5

Addiere $- 54$ und $51$ .

$- 3 + 3$

Schritt 2.1.3.6

Addiere $- 3$ und $3$ .

$0$

Schritt 2.1.4

Da $- 3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - 17 x + 3}{x + 3}$

Schritt 2.1.5

Dividiere $2 x^{3} - 17 x + 3$ durch $x + 3$ .

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Schritt 2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$17 x$

$3$

Schritt 2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$

Schritt 2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			+	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Schritt 2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} + 6 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Schritt 2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Schritt 2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$

Schritt 2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$

Schritt 2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$18 x$

Schritt 2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x^{2} - 18 x$

				$2 x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$

Schritt 2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$x$

Schritt 2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$x$	+	$3$

Schritt 2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$6 x$	+	$1$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$x$	+	$3$

Schritt 2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$6 x$	+	$1$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$x$	+	$3$
							+	$x$	+	$3$

Schritt 2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 3$

				$2 x^{2}$	-	$6 x$	+	$1$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$x$	+	$3$
							-	$x$	-	$3$

Schritt 2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$6 x$	+	$1$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$x$	+	$3$
							-	$x$	-	$3$
										$0$

Schritt 2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 2.1.6

Schreibe $2 x^{3} - 17 x + 3$ als eine Menge von Faktoren.

$- ((x + 3) (2 x^{2} - 6 x + 1))$

Schritt 2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x + 3) (2 x^{2} - 6 x + 1)$