Analysis Beispiele

$2 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x - 8$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 8, \pm 4, \pm 2$

Schritt 3

Setze $8$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $8$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.1

Setze $8$ in das Polynom ein.

$2 \cdot 8^{3} - 17 \cdot 8^{2} + 9 \cdot 8 - 8$

Schritt 3.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$2 \cdot 512 - 17 \cdot 8^{2} + 9 \cdot 8 - 8$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $512$ .

$1024 - 17 \cdot 8^{2} + 9 \cdot 8 - 8$

Schritt 3.4

Potenziere $8$ mit $2$ .

$1024 - 17 \cdot 64 + 9 \cdot 8 - 8$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 17$ mit $64$ .

$1024 - 1088 + 9 \cdot 8 - 8$

Schritt 3.6

Subtrahiere $1088$ von $1024$ .

$- 64 + 9 \cdot 8 - 8$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $9$ mit $8$ .

$- 64 + 72 - 8$

Schritt 3.8

Addiere $- 64$ und $72$ .

$8 - 8$

Schritt 3.9

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$0$

Schritt 4

Da $8$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 8$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x - 8}{x - 8}$

Schritt 5

Dividiere $2 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x - 8$ durch $x - 8$ .

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Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$8$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x$

$8$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			+	$2 x^{3}$	-	$16 x^{2}$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} - 16 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Schritt 5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$

Schritt 5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$

Schritt 5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$

Schritt 5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} + 8 x$

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
							+	$x$

Schritt 5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
							+	$x$	-	$8$

Schritt 5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
							+	$x$	-	$8$

Schritt 5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
							+	$x$	-	$8$
							+	$x$	-	$8$

Schritt 5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x - 8$

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
							+	$x$	-	$8$
							-	$x$	+	$8$

Schritt 5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$16 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$9 x$
					+	$x^{2}$	-	$8 x$
							+	$x$	-	$8$
							-	$x$	+	$8$
										$0$

Schritt 5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} - x + 1$

Schritt 6

Schreibe $2 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x - 8$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 8) (2 x^{2} - x + 1)$