Analysis Beispiele

$x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Schritt 1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Schritt 1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Schritt 1.3.3

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 16$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$1 - 9 + 24 \cdot 1 - 16$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$- 8 + 24 \cdot 1 - 16$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$- 8 + 24 - 16$

Schritt 1.3.7

Addiere $- 8$ und $24$ .

$16 - 16$

Schritt 1.3.8

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16}{x - 1}$

Schritt 1.5

Dividiere $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ durch $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 8 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 8 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $16 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $16 x - 16$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

Schritt 1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 8 x + 16$

Schritt 1.6

Schreibe $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) (x^{2} - 8 x + 16)$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(x - 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$(x - 1) {(x - 4)}^{2}$