Analysis Beispiele

$z^{7} - 1$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1$

Schritt 3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{7} - 1$

Schritt 3.2

Potenziere $1$ mit $7$ .

$1 - 1$

Schritt 3.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $z - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{z^{7} - 1}{z - 1}$

Schritt 5

Dividiere $z^{7} - 1$ durch $z - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $z^{7}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $z$ .

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $z^{7} - z^{6}$

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

Schritt 5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

Schritt 5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $z^{6}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

Schritt 5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

Schritt 5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $z^{6} - z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

Schritt 5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

Schritt 5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

Schritt 5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $z^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

Schritt 5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

Schritt 5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $z^{5} - z^{4}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

Schritt 5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

Schritt 5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

Schritt 5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $z^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

Schritt 5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

Schritt 5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $z^{4} - z^{3}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

Schritt 5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

Schritt 5.21

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

Schritt 5.22

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $z^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

Schritt 5.23

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

Schritt 5.24

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $z^{3} - z^{2}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

Schritt 5.25

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

Schritt 5.26

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

Schritt 5.27

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $z^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

Schritt 5.28

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

Schritt 5.29

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $z^{2} - z$

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

Schritt 5.30

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

Schritt 5.31

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

Schritt 5.32

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $z$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

Schritt 5.33

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

Schritt 5.34

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $z - 1$

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

Schritt 5.35

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$0$

Schritt 5.36

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$z^{6} + z^{5} + z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1$

Schritt 6

Schreibe $z^{7} - 1$ als eine Menge von Faktoren.

$(z - 1) (z^{6} + z^{5} + z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1)$