Analysis Beispiele

$f (x) = x + \frac{108}{x^{2}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $x + \frac{108}{x^{2}}$ nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Kombinieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{2}} + \frac{108}{x^{2}}$

Schritt 5.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \cdot x^{2} + 108}{x^{2}}$

Schritt 5.1.3

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + 108}{x^{2}}$

Schritt 5.1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 2} + 108}{x^{2}}$

Schritt 5.1.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x^{3} + 108}{x^{2}}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

$\frac{x^{3} + 108}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$108$

Schritt 5.3

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$108$

Schritt 5.4

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$108$

$x^{3}$

$0$

Schritt 5.5

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 0 + 0$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$108$

$x^{3}$

$0$

Schritt 5.6

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$108$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
										$0$

Schritt 5.7

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$108$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
										$0$	+	$108$

Schritt 5.8

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x + \frac{108}{x^{2}}$

Schritt 5.9

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = x$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = x$

Schritt 7