Analysis Beispiele

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich

t

$t$ an

\infty

$\infty$ annähert.

lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe

x^{2}

$x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit

- 1

$- 1$ .

lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in

{(x^{2})}^{- 1}

${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

- 1

$- 1$ .

lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x$

lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x$

lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von

x^{- 2}

$x^{- 2}$ nach

x

$x$ gleich

- x^{- 1}

$- x^{- 1}$ .

lim_{t \to \infty} - x^{- 1}]_{1}^{t}

$lim_{t \to \infty} - x^{- 1}]_{1}^{t}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne

- x^{- 1}

$- x^{- 1}$ bei

t

$t$ und

1

$1$ .

lim_{t \to \infty} (- t^{- 1}) + 1^{- 1}

$lim_{t \to \infty} (- t^{- 1}) + 1^{- 1}$

Schritt 4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

lim_{t \to \infty} - t^{- 1} + 1

$lim_{t \to \infty} - t^{- 1} + 1$

lim_{t \to \infty} - t^{- 1} + 1

$lim_{t \to \infty} - t^{- 1} + 1$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

t

$t$ sich an

\infty

$\infty$ annähert.

- lim_{t \to \infty} t^{- 1} + lim_{t \to \infty} 1

$- lim_{t \to \infty} t^{- 1} + lim_{t \to \infty} 1$

Schritt 5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} + lim_{t \to \infty} 1

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} + lim_{t \to \infty} 1$

Schritt 5.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch

\frac{1}{t}

$\frac{1}{t}$

0

$0$ .

- 0 + lim_{t \to \infty} 1

$- 0 + lim_{t \to \infty} 1$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.4.1

Berechne den Grenzwert von

1

$1$ , welcher konstant ist, wenn

t

$t$ sich

\infty

$\infty$ annähert.

0 + 1

$0 + 1$

Schritt 5.4.2

Addiere

0

$0$ und

1

$1$ .

1

$1$

1

$1$

1

$1$