Analysis Beispiele

${(n + 1)}^{4} - 1$

Schritt 1

Schreibe ${(n + 1)}^{4}$ als ${({(n + 1)}^{2})}^{2}$ um.

${({(n + 1)}^{2})}^{2} - 1$

Schritt 2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

${({(n + 1)}^{2})}^{2} - 1^{2}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = {(n + 1)}^{2}$ und $b = 1$ .

$({(n + 1)}^{2} + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(n + 1)}^{2}$ als $(n + 1) (n + 1)$ um.

$((n + 1) (n + 1) + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Schritt 4.2

Multipliziere $(n + 1) (n + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(n (n + 1) + 1 (n + 1) + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(n \cdot n + n \cdot 1 + 1 (n + 1) + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(n \cdot n + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1 + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$(n^{2} + n \cdot 1 + 1 n + 1 \cdot 1 + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$(n^{2} + n + 1 n + 1 \cdot 1 + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Schritt 4.3.1.3

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$(n^{2} + n + n + 1 \cdot 1 + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Schritt 4.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$(n^{2} + n + n + 1 + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Schritt 4.3.2

Addiere $n$ und $n$ .

$(n^{2} + 2 n + 1 + 1) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(n^{2} + 2 n + 2) ({(n + 1)}^{2} - 1)$

Schritt 4.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(n^{2} + 2 n + 2) ({(n + 1)}^{2} - 1^{2})$

Schritt 4.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = n + 1$ und $b = 1$ .

$(n^{2} + 2 n + 2) ((n + 1 + 1) (n + 1 - 1))$

Schritt 4.7

Faktorisiere.

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Schritt 4.7.1

Vereinfache.

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Schritt 4.7.1.1

Addiere $1$ und $1$ .

$(n^{2} + 2 n + 2) ((n + 2) (n + 1 - 1))$

Schritt 4.7.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$(n^{2} + 2 n + 2) ((n + 2) (n + 0))$

Schritt 4.7.1.3

Addiere $n$ und $0$ .

$(n^{2} + 2 n + 2) ((n + 2) n)$

Schritt 4.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$(n^{2} + 2 n + 2) (n + 2) n$