Analysis Beispiele

${(y + z)}^{3} - 125$

Schritt 1

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

${(y + z)}^{3} - 5^{3}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = y + z$ und $b = 5$ .

$(y + z - 5) ({(y + z)}^{2} + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe ${(y + z)}^{2}$ als $(y + z) (y + z)$ um.

$(y + z - 5) ((y + z) (y + z) + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

Schritt 3.2

Multipliziere $(y + z) (y + z)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(y + z - 5) (y (y + z) + z (y + z) + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(y + z - 5) (y \cdot y + y z + z (y + z) + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(y + z - 5) (y \cdot y + y z + z y + z \cdot z + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$(y + z - 5) (y^{2} + y z + z y + z \cdot z + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$(y + z - 5) (y^{2} + y z + z y + z^{2} + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

Schritt 3.3.2

Addiere $y z$ und $z y$ .

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Schritt 3.3.2.1

Stelle $z$ und $y$ um.

$(y + z - 5) (y^{2} + y z + y z + z^{2} + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $y z$ und $y z$ .

$(y + z - 5) (y^{2} + 2 y z + z^{2} + (y + z) \cdot 5 + 5^{2})$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(y + z - 5) (y^{2} + 2 y z + z^{2} + y \cdot 5 + z \cdot 5 + 5^{2})$

Schritt 3.5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $y$ .

$(y + z - 5) (y^{2} + 2 y z + z^{2} + 5 \cdot y + z \cdot 5 + 5^{2})$

Schritt 3.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $z$ .

$(y + z - 5) (y^{2} + 2 y z + z^{2} + 5 y + 5 z + 5^{2})$

Schritt 3.7

Potenziere $5$ mit $2$ .

$(y + z - 5) (y^{2} + 2 y z + z^{2} + 5 y + 5 z + 25)$