Analysis Beispiele

$y = x^{2} \sin (4 x)$

Schritt 1

Setze $x^{2} \sin (4 x)$ gleich $0$ .

$x^{2} \sin (4 x) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$\sin (4 x) = 0$

Schritt 2.2

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.2.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.3

Setze $\sin (4 x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $\sin (4 x)$ gleich $0$ .

$\sin (4 x) = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $\sin (4 x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$4 x = \arcsin (0)$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$4 x = 0$

Schritt 2.3.2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.2.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$4 x = π - 0$

Schritt 2.3.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$4 x = π + 0$

Schritt 2.3.2.5.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$4 x = π$

Schritt 2.3.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = π$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = π$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Schritt 2.3.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Schritt 2.3.2.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 2.3.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (4 x)$ .

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Schritt 2.3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.3.2.6.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 2.3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 2.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.3.2.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 2.3.2.6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 2.3.2.7

Die Periode der Funktion $\sin (4 x)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} \sin (4 x) = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = 0$ (Vielfachheit von $2$ )

$x = \frac{π n}{2}$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 2.5

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 2.5.1

Führe $0$ und $\frac{π n}{2}$ zu $\frac{π n}{2}$ zusammen.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.5.2

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{4}$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 3