Analysis Beispiele

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 80$

Schritt 1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 80$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 80$

Schritt 1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 36 x^{2}$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 80$

Schritt 1.3

Faktorisiere $4$ aus $96 x$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 80$

Schritt 1.4

Faktorisiere $4$ aus $- 80$ heraus.

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 20$

Schritt 1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ heraus.

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 20$

Schritt 1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ heraus.

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 20$

Schritt 1.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 20$ heraus.

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20)$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Schritt 2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Schritt 2.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2^{3} - 9 \cdot 2^{2} + 24 \cdot 2 - 20$

Schritt 2.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 - 9 \cdot 2^{2} + 24 \cdot 2 - 20$

Schritt 2.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 - 9 \cdot 4 + 24 \cdot 2 - 20$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $4$ .

$8 - 36 + 24 \cdot 2 - 20$

Schritt 2.3.5

Subtrahiere $36$ von $8$ .

$- 28 + 24 \cdot 2 - 20$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $24$ mit $2$ .

$- 28 + 48 - 20$

Schritt 2.3.7

Addiere $- 28$ und $48$ .

$20 - 20$

Schritt 2.3.8

Subtrahiere $20$ von $20$ .

$0$

Schritt 2.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20}{x - 2}$

Schritt 2.5

Dividiere $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20$ durch $x - 2$ .

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Schritt 2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$20$

Schritt 2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$

Schritt 2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

Schritt 2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$

Schritt 2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 7 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$

Schritt 2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$

Schritt 2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 7 x^{2} + 14 x$

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$

Schritt 2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$

Schritt 2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$

Schritt 2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$

Schritt 2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$
							+	$10 x$	-	$20$

Schritt 2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 x - 20$

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$
							-	$10 x$	+	$20$

Schritt 2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$
							-	$10 x$	+	$20$
										$0$

Schritt 2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 7 x + 10$

Schritt 2.6

Schreibe $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20$ als eine Menge von Faktoren.

$4 ((x - 2) (x^{2} - 7 x + 10))$

Schritt 3

Faktorisiere.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x^{2} - 7 x + 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{2} - 7 x + 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $10$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 5, - 2$

Schritt 3.1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$4 ((x - 2) ((x - 5) (x - 2)))$

Schritt 3.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 ((x - 2) (x - 5) (x - 2))$

Schritt 3.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 2) (x - 5) (x - 2)$

Schritt 4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.1

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$4 ({(x - 2)}^{1} (x - 2)) (x - 5)$

Schritt 4.2

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$4 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}) (x - 5)$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 {(x - 2)}^{1 + 1} (x - 5)$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$4 {(x - 2)}^{2} (x - 5)$