Analysis Beispiele

$2 (\sqrt{- 3 x + 5}) + 3$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 \sqrt{- 3 x + 5} d x + \int 3 d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \sqrt{- 3 x + 5} d x + \int 3 d x$

Schritt 3

Sei $u = - 3 x + 5$ . Dann ist $d u = - 3 d x$ , folglich $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = - 3 x + 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $- 3 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x + 5]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 + 0$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $- 3$ und $0$ .

$- 3$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \sqrt{u} \frac{1}{- 3} d u + \int 3 d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int \sqrt{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int 3 d x$

Schritt 4.2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$2 \int - \frac{\sqrt{u}}{3} d u + \int 3 d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u) + \int 3 d x$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u + \int 3 d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u) + \int 3 d x$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 2$ .

$\frac{- 2}{3} \int \sqrt{u} d u + \int 3 d x$

Schritt 8.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3} \int \sqrt{u} d u + \int 3 d x$

Schritt 8.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int 3 d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int 3 d x$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{2}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 3 x + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{4}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{4}{9} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $- 3 x + 5$ .

$- \frac{4}{9} {(- 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$