Analysis Beispiele

$3 x {(2 x + 3)}^{- 0.5}$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x {(2 x + 3)}^{- 0.5} d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = 2 x + 3$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = 2 x + 3$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) {u_{1}}^{- 0.5} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${u_{1}}^{- 0.5}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{{u_{1}}^{- 0.5}}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2

Bringe ${u_{1}}^{- 0.5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2 {u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$

Schritt 4

Sei $u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{{u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$ , folglich ${u_{1}}^{0.5} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 {u_{1}}^{0.5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{0.5}]$

Schritt 4.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 {u_{1}}^{0.5}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 0.5$ .

$2 (0.5 {u_{1}}^{- 0.5})$

Schritt 4.1.4

Multipliziere.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $0.5$ mit $2$ .

$1 {u_{1}}^{- 0.5}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere ${u_{1}}^{- 0.5}$ mit $1$ .

${u_{1}}^{- 0.5}$

Schritt 4.1.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{u_{1}}^{0.5}}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$3 \int (\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2}$ als ein Produkt um.

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{{u_{2}}^{2}}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4 \cdot 2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{8} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 1 \cdot 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$\frac{3}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2})$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{4} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{3}{4} (\int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

Schritt 11

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int - 3 d u_{2})$

Schritt 13

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) - 3 u_{2} + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

$\frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{3}}{12} - 3 u_{2}) + C$

Schritt 15

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 15.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 {u_{1}}^{0.5}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {u_{1}}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {u_{1}}^{0.5})) + C$

Schritt 15.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x + 3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(2 x + 3)}^{0.5}$ an.

$\frac{3}{4} (\frac{2^{3} {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Schritt 16.1.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Schritt 16.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}$ .

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Schritt 16.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{0.5 \cdot 3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Schritt 16.1.1.3.2

Mutltipliziere $0.5$ mit $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{1.5}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Schritt 16.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $12$ .

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Schritt 16.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8 {(2 x + 3)}^{1.5}$ heraus.

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Schritt 16.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 (3)} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Schritt 16.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 \cdot 3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Schritt 16.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Schritt 16.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Schritt 16.2

Um $- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Schritt 16.3

Kombiniere $- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} + \frac{- 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3}) + C$

Schritt 16.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

Schritt 16.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 16.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

Schritt 16.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3) + C$

Schritt 16.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Schritt 16.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Schritt 16.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.8.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2 (2)} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Schritt 16.8.2

Faktorisiere $2$ aus $2 {(2 x + 3)}^{1.5}$ heraus.

$\frac{1}{2 (2)} (2 ({(2 x + 3)}^{1.5})) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Schritt 16.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Schritt 16.8.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} {(2 x + 3)}^{1.5} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Schritt 16.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Schritt 16.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.10.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Schritt 16.10.2

Faktorisiere $2$ aus $- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}$ heraus.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Schritt 16.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Schritt 16.10.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2} (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Schritt 16.11

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9}{2} {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

Schritt 16.12

Kombiniere $\frac{- 9}{2}$ und ${(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Schritt 16.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Schritt 16.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.14.1

Faktorisiere ${(2 x + 3)}^{0.5}$ aus ${(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ heraus.

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Schritt 16.14.1.1

Faktorisiere ${(2 x + 3)}^{0.5}$ aus ${(2 x + 3)}^{1.5}$ heraus.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Schritt 16.14.1.2

Faktorisiere ${(2 x + 3)}^{0.5}$ aus $- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ heraus.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9}{2} + C$

Schritt 16.14.1.3

Faktorisiere ${(2 x + 3)}^{0.5}$ aus ${(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9$ heraus.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3 - 9)}{2} + C$

Schritt 16.14.2

Subtrahiere $9$ von $3$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x - 6)}{2} + C$

Schritt 16.14.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 6$ heraus.

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Schritt 16.14.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x) - 6)}{2} + C$

Schritt 16.14.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 2 \cdot - 3)}{2} + C$

Schritt 16.14.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 3$ heraus.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x - 3))}{2} + C$

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

Schritt 16.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

Schritt 16.15.2

Dividiere ${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3)$ durch $1$ .

${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3) + C$

Schritt 16.16

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 x + 3)}^{0.5} x + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 3 + C$

Schritt 16.17

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von ${(2 x + 3)}^{0.5}$ .

${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 \cdot {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

Schritt 16.18

Stelle die Faktoren in ${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 {(2 x + 3)}^{0.5}$ um.

$x {(2 x + 3)}^{0.5} - 3 {(2 x + 3)}^{0.5} + C$