Analysis Beispiele

$x^{2} e^{x - 1}$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{x - 1}$ .

$x^{2} e^{x - 1} - \int e^{x - 1} (2 x) d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$x^{2} e^{x - 1} - (2 \int e^{x - 1} (x) d x)$

Schritt 3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{2} e^{x - 1} - 2 \int e^{x - 1} (x) d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x - 1}$ .

$x^{2} e^{x - 1} - 2 (x e^{x - 1} - \int e^{x - 1} d x)$

Schritt 5

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x^{2} e^{x - 1} - 2 (x e^{x - 1} - \int e^{u} d u)$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$x^{2} e^{x - 1} - 2 (x e^{x - 1} - (e^{u} + C))$

Schritt 7

Schreibe $x^{2} e^{x - 1} - 2 (x e^{x - 1} - (e^{u} + C))$ als $x^{2} e^{x - 1} - 2 x e^{x - 1} + 2 e^{u} + C$ um.

$x^{2} e^{x - 1} - 2 x e^{x - 1} + 2 e^{u} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$x^{2} e^{x - 1} - 2 x e^{x - 1} + 2 e^{x - 1} + C$