Analysis Beispiele

$\tan^{6} (x)$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\int {\tan (x)}^{2 (3)} d x$

Schritt 1.2

Schreibe ${\tan (x)}^{2 (3)}$ als Potenz um.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{3} d x$

Schritt 2

Schreibe $\tan^{2} (x)$ in $- 1 + \sec^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{3} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

$\int - 1 + 3 \sec^{2} (x) - 3 \sec^{4} (x) + \sec^{6} (x) d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 1 d x + \int 3 \sec^{2} (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$- x + C + \int 3 \sec^{2} (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- x + C + 3 \int \sec^{2} (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Schritt 7

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) + \int - 3 \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Schritt 8

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Schritt 9.2

Schreibe ${\sec (x)}^{2 + 2}$ als $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ um.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Schritt 10

Schreibe $\sec^{2} (x)$ in $1 + \tan^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Schritt 11

Sei $u_{1} = \tan (x)$ . Dann ist $d u_{1} = \sec^{2} (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u_{1} = \tan (x)$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 11.1.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int 1 + {u_{1}}^{2} d u_{1} + \int \sec^{6} (x) d x$

Schritt 12

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (\int d u_{1} + \int {u_{1}}^{2} d u_{1}) + \int \sec^{6} (x) d x$

Schritt 13

Wende die Konstantenregel an.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \int {u_{1}}^{2} d u_{1}) + \int \sec^{6} (x) d x$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{2}$ nach $u_{1}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{1}}^{3}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{1}{3} {u_{1}}^{3} + C) + \int \sec^{6} (x) d x$

Schritt 15

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${u_{1}}^{3}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int \sec^{6} (x) d x$

Schritt 15.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.2.1

Schreibe $6$ um als $4$ plus $2$

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Schritt 15.2.2

Schreibe ${\sec (x)}^{4 + 2}$ als $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ um.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int \sec^{4} (x) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 15.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 15.4

Schreibe ${\sec (x)}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 16

Schreibe $\sec^{2} (x)$ in $1 + \tan^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 17

Sei $u_{2} = \tan (x)$ . Dann ist $d u_{2} = \sec^{2} (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 17.1

Es sei $u_{2} = \tan (x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 17.1.1

Differenziere $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 17.1.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Schritt 17.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {(1 + {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Schritt 18

Multipliziere ${(1 + {u_{2}}^{2})}^{2}$ aus.

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Schritt 18.1

Schreibe ${(1 + {u_{2}}^{2})}^{2}$ als $(1 + {u_{2}}^{2}) (1 + {u_{2}}^{2})$ um.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int (1 + {u_{2}}^{2}) (1 + {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Schritt 18.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 (1 + {u_{2}}^{2}) + {u_{2}}^{2} (1 + {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Schritt 18.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 \cdot 1 + 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (1 + {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Schritt 18.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 \cdot 1 + 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} \cdot 1 + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 18.5

Stelle ${u_{2}}^{2}$ und $1$ um.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 \cdot 1 + 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 18.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + 1 {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 18.7

Mutltipliziere ${u_{2}}^{2}$ mit $1$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 18.8

Mutltipliziere ${u_{2}}^{2}$ mit $1$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 18.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Schritt 18.10

Addiere $2$ und $2$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 18.11

Addiere ${u_{2}}^{2}$ und ${u_{2}}^{2}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 18.12

Stelle $2 {u_{2}}^{2}$ und ${u_{2}}^{4}$ um.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{4} + 2 {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 18.13

Bewege $1$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {u_{2}}^{4} + 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2}$

Schritt 19

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}$

Schritt 20

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{4}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}$

Schritt 21

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}$

Schritt 22

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2}$

Schritt 23

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${u_{2}}^{3}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + \int d u_{2}$

Schritt 24

Wende die Konstantenregel an.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C$

Schritt 25

Vereinfache.

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Schritt 25.1

Vereinfache.

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} - {u_{1}}^{3} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Schritt 25.2

Vereinfache.

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Schritt 25.2.1

Um $- {u_{1}}^{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} - {u_{1}}^{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Schritt 25.2.2

Kombiniere $- {u_{1}}^{3}$ und $\frac{3}{3}$ .

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{- {u_{1}}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Schritt 25.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{- {u_{1}}^{3} \cdot 3 + 2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Schritt 25.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{- 3 {u_{1}}^{3} + 2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Schritt 25.2.5

Addiere $- 3 {u_{1}}^{3}$ und $2 {u_{2}}^{3}$ .

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{- {u_{1}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Schritt 25.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Schritt 25.2.7

Addiere $- 3 u_{1}$ und $u_{2}$ .

$- x + 3 \tan (x) + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{{u_{1}}^{3}}{3} - 2 u_{1} + C$

Schritt 26

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 26.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\tan (x)$ .

$- x + 3 \tan (x) + \frac{\tan^{5} (x)}{5} - \frac{{u_{1}}^{3}}{3} - 2 u_{1} + C$

Schritt 26.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (x)$ .

$- x + 3 \tan (x) + \frac{\tan^{5} (x)}{5} - \frac{\tan^{3} (x)}{3} - 2 \tan (x) + C$

Schritt 27

Stelle die Terme um.

$- x + 3 \tan (x) + \frac{1}{5} \tan^{5} (x) - \frac{1}{3} \tan^{3} (x) - 2 \tan (x) + C$