Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (2 - x^{2} + 2 x^{4})$ ; $x = 1$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 \cdot 1^{4})$

Schritt 1.2.3

Entferne die Klammern.

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Schritt 1.2.4

Vereinfache $\ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$ .

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \ln (2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4})$

Schritt 1.2.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = \ln (2 - 1 + 2 {(1)}^{4})$

Schritt 1.2.4.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \ln (2 - 1 + 2 \cdot 1)$

Schritt 1.2.4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \ln (2 - 1 + 2)$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$y = \ln (1 + 2)$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \ln (3)$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = \ln (3)$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Schritt 2.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Schritt 2.2.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{4}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 (4 x^{3}))$

Schritt 2.2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.9.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$

Schritt 2.2.9.2

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$ um.

$(- 2 x + 8 x^{3}) \frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) (\frac{1}{2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4}})$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Schritt 2.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Schritt 2.4.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2}$

Schritt 2.4.1.5

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{1 + 2}$

Schritt 2.4.1.6

Addiere $1$ und $2$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$(- 2 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(- 2 + 8 \cdot 1) \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.2.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$(- 2 + 8) \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.2.1

Addiere $- 2$ und $8$ .

$6 (\frac{1}{3})$

Schritt 2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 (2) \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $2$ und einen gegebenen Punkt $(1, \ln (3))$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\ln (3)) = 2 \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $2 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \ln (3) = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \ln (3) = 2 x + 2 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y - \ln (3) = 2 x - 2$

Schritt 3.3.2

Addiere $\ln (3)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2 x - 2 + \ln (3)$

Schritt 4