Analysis Beispiele

$(e^{- x} + 4 e^{2 x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int e^{- x} + 4 e^{2 x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int e^{- x} d x + \int 4 e^{2 x} d x$

Schritt 3

Sei $u_{1} = - x$ . Dann ist $d u_{1} = - d x$ , folglich $- d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = - x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int 4 e^{2 x} d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 4 e^{2 x} d x$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + \int 4 e^{2 x} d x$

Schritt 6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int e^{2 x} d x$

Schritt 7

Sei $u_{2} = 2 x$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{2} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 7.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 8

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{4}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 10.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 10.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 10.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 10.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + 2 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 11

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + 2 (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

$- e^{u_{1}} + 2 e^{u_{2}} + C$

Schritt 13

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 13.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$- e^{- x} + 2 e^{u_{2}} + C$

Schritt 13.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$- e^{- x} + 2 e^{2 x} + C$