Analysis Beispiele

$\frac{2}{x^{2} + 1} \cdot (d x)$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Kombiniere $d$ und $\frac{2}{x^{2} + 1}$ .

$\int \frac{d \cdot 2}{x^{2} + 1} \cdot x d x$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{d \cdot 2}{x^{2} + 1}$ und $x$ .

$\int \frac{d \cdot 2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $d$ .

$\int \frac{2 d x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2

Da $2 d$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2 d$ aus dem Integral.

$2 d \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 d \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 d \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$2 d \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 d (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$d (\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $d$ .

$\frac{2 d}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 d}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6.3.2

Dividiere $d$ durch $1$ .

$d \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$d (\ln (| u |) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$d \ln (| u |) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$d \ln (| x^{2} + 1 |) + C$