Analysis Beispiele

Bestimme das Integral cos(2x)^4
Schritt 1
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Es sei . Ermittle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Differenziere .
Schritt 1.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 2
Kombiniere und .
Schritt 3
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 4
Vereinfache durch Herausfaktorisieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2
Schreibe als Potenz um.
Schritt 5
Benutze die Halbwinkelformel, um als neu zu schreiben.
Schritt 6
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Es sei . Ermittle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1.1
Differenziere .
Schritt 6.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 6.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 6.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 7
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 8
Vereinfache Terme.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.1
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2
Schreibe als ein Produkt um.
Schritt 8.3
Multipliziere aus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.3.1
Schreibe die Potenz um als ein Produkt.
Schritt 8.3.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 8.3.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 8.3.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 8.3.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 8.3.6
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 8.3.7
Stelle und um.
Schritt 8.3.8
Stelle und um.
Schritt 8.3.9
Bewege .
Schritt 8.3.10
Stelle und um.
Schritt 8.3.11
Stelle und um.
Schritt 8.3.12
Bewege .
Schritt 8.3.13
Stelle und um.
Schritt 8.3.14
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.3.15
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.3.16
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.3.17
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.3.18
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.3.19
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.3.20
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.3.21
Kombiniere und .
Schritt 8.3.22
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.3.23
Kombiniere und .
Schritt 8.3.24
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.3.25
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.3.26
Kombiniere und .
Schritt 8.3.27
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.3.28
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.3.29
Kombiniere und .
Schritt 8.3.30
Potenziere mit .
Schritt 8.3.31
Potenziere mit .
Schritt 8.3.32
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 8.3.33
Addiere und .
Schritt 8.3.34
Addiere und .
Schritt 8.3.35
Kombiniere und .
Schritt 8.3.36
Stelle und um.
Schritt 8.3.37
Stelle und um.
Schritt 8.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 8.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 8.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 8.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 9
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 10
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 11
Benutze die Halbwinkelformel, um als neu zu schreiben.
Schritt 12
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 13
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 14
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 15
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 16
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 16.1
Es sei . Ermittle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 16.1.1
Differenziere .
Schritt 16.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 16.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 16.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 16.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 17
Kombiniere und .
Schritt 18
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 19
Das Integral von nach ist .
Schritt 20
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 21
Kombiniere und .
Schritt 22
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 23
Das Integral von nach ist .
Schritt 24
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 24.1
Vereinfache.
Schritt 24.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 24.2.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 24.2.2
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 24.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 24.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 24.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 24.2.4
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 24.2.5
Addiere und .
Schritt 25
Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 25.1
Ersetze alle durch .
Schritt 25.2
Ersetze alle durch .
Schritt 25.3
Ersetze alle durch .
Schritt 25.4
Ersetze alle durch .
Schritt 25.5
Ersetze alle durch .
Schritt 26
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 26.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 26.1.1
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 26.1.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 26.1.1.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 26.1.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 26.1.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 26.1.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 26.1.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 26.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 26.1.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 26.1.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 26.1.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 26.1.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 26.1.3
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 26.1.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 26.1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 26.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 26.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 26.3
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 26.3.1
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 26.3.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 26.3.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 26.3.2
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 26.3.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 26.3.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 26.3.3
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 26.3.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 26.3.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 27
Stelle die Terme um.