Analysis Beispiele

$\cos^{2} (2 x)$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2

Kombiniere $\cos^{2} (u_{1})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 4

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{4} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 9

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 9.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 10

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 12

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{1}{4} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{4} (2 x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 14.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{4} (2 x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Schritt 14.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{4} (2 x + \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} (2 x + \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

Schritt 15.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (4 x)$ .

$\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Schritt 15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Schritt 15.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2 (2)} (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Schritt 15.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{1}{2 (2)} (2 (x)) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Schritt 15.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Schritt 15.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Schritt 15.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Schritt 15.5

Multipliziere $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}$ .

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Schritt 15.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

Schritt 15.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) + C$