Analysis Beispiele

$(x^{2} - 1) d x - (y^{2} + x) d y$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int (x^{2} - 1) d x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Schritt 2

Da $d$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $d$ aus dem Integral.

$d \int (x^{2} - 1) x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Schritt 3

Multipliziere $(x^{2} - 1) x$ .

$d \int x^{2} x - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 4.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$d \int x^{2} x^{1} - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Schritt 4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$d \int x^{2 + 1} - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Schritt 4.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$d \int x^{3} - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Schritt 4.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$d \int x^{3} - x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$d (\int x^{3} d x + \int - x d x) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - x d x) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - \int x d x) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Schritt 9

Da $- d y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- d y$ aus dem Integral.

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y \int y^{2} + x d x$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y (\int y^{2} d x + \int x d x)$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \int x d x)$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache.

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Schritt 13.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 13.1.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$d (\frac{x^{4}}{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 13.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$d (\frac{x^{4}}{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{x^{2}}{2} + C)$

Schritt 13.2

Vereinfache.

$\frac{d x^{4}}{4} - d \frac{x^{2}}{2} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) + C$

Schritt 13.3

Vereinfache.

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Schritt 13.3.1

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $d$ .

$\frac{d x^{4}}{4} - \frac{x^{2} d}{2} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) + C$

Schritt 13.3.2

Um $- d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4}}{4} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) \cdot \frac{4}{4} + C$

Schritt 13.3.3

Kombiniere $- d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2})$ und $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4}}{4} + \frac{- d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Schritt 13.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Schritt 13.3.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4} - 4 d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2})}{4} + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} x^{2} d + \frac{1}{4} (d x^{4} - 4 d y (y^{2} x + \frac{1}{2} x^{2})) + C$