Analysis Beispiele

$\sin (2 x) \geq \sin (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $\sin (x)$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\sin (2 x) - \sin (x) \geq 0$

Schritt 2

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \geq 0$

Schritt 3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ heraus.

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 5

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 5.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 5.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Setze $2 \cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $2 \cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $2 \cos (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (x) = 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 6.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.6

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 6.2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 6.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.6.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 6.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Führe $2 π n$ und $π + 2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < π$

$π < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{π}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{π}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (2 (1)) \geq \sin (1)$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $0.90929742$ ist größer als die rechte Seite $0.84147098$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{3} < x < π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{3} < x < π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (2 (2)) \geq \sin (2)$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $- 0.75680249$ ist kleiner als die rechte Seite $0.90929742$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $π < x < \frac{5 π}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $π < x < \frac{5 π}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (2 (4)) \geq \sin (4)$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $0.98935824$ ist größer als die rechte Seite $- 0.75680249$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.4

Teste einen Wert im Intervall $\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 10.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (2 (6)) \geq \sin (6)$

Schritt 10.4.3

Die linke Seite $- 0.53657291$ ist kleiner als die rechte Seite $- 0.27941549$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.5

Teste einen Wert im Intervall $2 π < x < \frac{7 π}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 π < x < \frac{7 π}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 7$

Schritt 10.5.2

Ersetze $x$ durch $7$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (2 (7)) \geq \sin (7)$

Schritt 10.5.3

Die linke Seite $0.99060735$ ist größer als die rechte Seite $0.65698659$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.6

Teste einen Wert im Intervall $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.6.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 9$

Schritt 10.6.2

Ersetze $x$ durch $9$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (2 (9)) \geq \sin (9)$

Schritt 10.6.3

Die linke Seite $- 0.75098724$ ist kleiner als die rechte Seite $0.41211848$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.7

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 < x < \frac{π}{3}$ Wahr

$\frac{π}{3} < x < π$ Falsch

$π < x < \frac{5 π}{3}$ Wahr

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ Falsch

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ Wahr

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Falsch

$0 < x < \frac{π}{3}$ Wahr

$\frac{π}{3} < x < π$ Falsch

$π < x < \frac{5 π}{3}$ Wahr

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ Falsch

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ Wahr

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 + 2 π n \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 π n$ or $π + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Schritt 12

Vereine die Intervalle.

$π + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 π n or 2 π n \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 π n or 2 π + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[2 π + 2 π n, \frac{7 π}{3} + 2 π n] \cup [π + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n] \cup [2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n]$

Schritt 14