Analysis Beispiele

$| x - 4 | < 2$

Schritt 1

Schreibe $| x - 4 | < 2$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x - 4 \geq 0$

Schritt 1.2

Addiere $4$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 4$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x - 4$ nicht negativ ist.

$x - 4 < 2$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x - 4 < 0$

Schritt 1.5

Addiere $4$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x < 4$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x - 4$ negativ ist.

$- (x - 4) < 2$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x - 4 < 2 & x \geq 4 \\ - (x - 4) < 2 & x < 4 \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $- (x - 4) < 2$ .

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Schritt 1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} x - 4 < 2 & x \geq 4 \\ - x - - 4 < 2 & x < 4 \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

${\begin{cases} x - 4 < 2 & x \geq 4 \\ - x + 4 < 2 & x < 4 \end{cases}$

Schritt 2

Löse $x - 4 < 2$ , wenn $x \geq 4$ ergibt.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1

Addiere $4$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x < 2 + 4$

Schritt 2.1.2

Addiere $2$ und $4$ .

$x < 6$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < 6$ und $x \geq 4$ .

$4 \leq x < 6$

Schritt 3

Löse $- x + 4 < 2$ , wenn $x < 4$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $- x + 4 < 2$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x < 2 - 4$

Schritt 3.1.1.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$- x < - 2$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- x < - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Term in $- x < - 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} > \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x > 2$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x > 2$ und $x < 4$ .

$2 < x < 4$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$2 < x < 6$

Schritt 5

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(2, 6)$

Schritt 6