Analysis Beispiele

$12 x^{2} - 7 x - 12 < 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$12 x^{2} - 7 x - 12 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 12 \cdot - 12 = - 144$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 x$ heraus.

$12 x^{2} - 7 x - 12 = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 7$ um als $9$ plus $- 16$

$12 x^{2} + (9 - 16) x - 12 = 0$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$12 x^{2} + 9 x - 16 x - 12 = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(12 x^{2} + 9 x) - 16 x - 12 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 x (4 x + 3) - 4 (4 x + 3) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x + 3$ .

$(4 x + 3) (3 x - 4) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$3 x - 4 = 0$

Schritt 4

Setze $4 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $4 x + 3$ gleich $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $4 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 3$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{4}$

Schritt 5

Setze $3 x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $3 x - 4$ gleich $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Schritt 5.2

Löse $3 x - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 4$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 x + 3) (3 x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{3}{4}, \frac{4}{3}$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{3}{4}$

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{3}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{3}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$12 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 12 < 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $117$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$12 {(0)}^{2} - 7 \cdot 0 - 12 < 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 12$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{4}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{4}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$12 {(4)}^{2} - 7 \cdot 4 - 12 < 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $152$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{3}{4}$ Falsch

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ Wahr

$x > \frac{4}{3}$ Falsch

$x < - \frac{3}{4}$ Falsch

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ Wahr

$x > \frac{4}{3}$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$

Schritt 10

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \frac{3}{4}, \frac{4}{3})$

Schritt 11