Analysis Beispiele

$\frac{2 x + 4}{3 x - 2} < 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{2 x + 4}{3 x - 2} - 1 < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{2 x + 4}{3 x - 2} - 1$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 4$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) + 4}{3 x - 2} - 1 < 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2}{3 x - 2} - 1 < 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 (x + 2)}{3 x - 2} - 1 < 0$

Schritt 2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{3 x - 2} - 1 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2} < 0$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{3 x - 2} + \frac{- (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (x + 2) - (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 x + 4 - (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 4 - (3 x) - - 2}{3 x - 2} < 0$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x + 4 - 3 x - - 2}{3 x - 2} < 0$

Schritt 2.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x + 4 - 3 x + 2}{3 x - 2} < 0$

Schritt 2.5.6

Subtrahiere $3 x$ von $2 x$ .

$\frac{- x + 4 + 2}{3 x - 2} < 0$

Schritt 2.5.7

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{- x + 6}{3 x - 2} < 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) + 6}{3 x - 2} < 0$

Schritt 2.7

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (- 6)}{3 x - 2} < 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 6)$ heraus.

$\frac{- (x - 6)}{3 x - 2} < 0$

Schritt 2.9

Schreibe $- (x - 6)$ als $- 1 (x - 6)$ um.

$\frac{- 1 (x - 6)}{3 x - 2} < 0$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x - 6}{3 x - 2} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 6 = 0$

$3 x - 2 = 0$

Schritt 4

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 5

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 6$

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 6, \frac{2}{3}$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{x - 6}{3 x - 2}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 6}{3 x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x - 2 = 0$

Schritt 9.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 9.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 9.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{2}{3}$

$\frac{2}{3} < x < 6$

$x > 6$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{2}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{2}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (0) + 4}{3 (0) - 2} < 1$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 2$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{2}{3} < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{2}{3} < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (3) + 4}{3 (3) - 2} < 1$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $1.\overline{428571}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (8) + 4}{3 (8) - 2} < 1$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $0.\overline{90}$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{2}{3}$ Wahr

$\frac{2}{3} < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

$x < \frac{2}{3}$ Wahr

$\frac{2}{3} < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < \frac{2}{3}$ oder $x > 6$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (6, \infty)$

Schritt 14