Analysis Beispiele

$x^{2} + 6 x + 9 > 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} + 6 x + 9 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x^{2} + 6 x + 3^{2} = 0$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 3

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$x > - 3$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 6)}^{2} + 6 (- 6) + 9 > 0$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite $9$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $x > - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} + 6 (0) + 9 > 0$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $9$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$x > - 3$ Wahr

$x < - 3$ Wahr

$x > - 3$ Wahr

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 3$ oder $x > - 3$

Schritt 8

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Schritt 9