Analysis Beispiele

$x (x + 9) \cdot (x + 6)$

Schritt 1

Sei $u = x + 6$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x + 6$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (u - 6) (u - 6 + 9) \cdot u d u$

Schritt 2

Addiere $- 6$ und $9$ .

$\int (u - 6) (u + 3) u d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u (u + 3) - 6 (u + 3)) u d u$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u \cdot u + u \cdot 3 - 6 (u + 3)) u d u$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u \cdot u + u \cdot 3 - 6 u - 6 \cdot 3) u d u$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u \cdot u + u \cdot 3) u + (- 6 u - 6 \cdot 3) u d u$

Schritt 3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot 3 u + (- 6 u - 6 \cdot 3) u d u$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot 3 u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Schritt 3.7

Stelle $u$ und $3$ um.

$\int u \cdot u \cdot u + 3 \cdot u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Schritt 3.8

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Schritt 3.9

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Schritt 3.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{1 + 1} u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Schritt 3.11

Addiere $1$ und $1$ .

$\int u^{2} u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Schritt 3.12

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{2} u^{1} + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Schritt 3.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{2 + 1} + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Schritt 3.14

Addiere $2$ und $1$ .

$\int u^{3} + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Schritt 3.15

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{3} + 3 (u^{1} u) - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Schritt 3.16

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{3} + 3 (u^{1} u^{1}) - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Schritt 3.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{3} + 3 u^{1 + 1} - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Schritt 3.18

Addiere $1$ und $1$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

Schritt 3.19

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 (u^{1} u) - 6 \cdot 3 u d u$

Schritt 3.20

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 (u^{1} u^{1}) - 6 \cdot 3 u d u$

Schritt 3.21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u^{1 + 1} - 6 \cdot 3 u d u$

Schritt 3.22

Addiere $1$ und $1$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u^{2} - 6 \cdot 3 u d u$

Schritt 3.23

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u^{2} - 18 u d u$

Schritt 3.24

Subtrahiere $6 u^{2}$ von $3 u^{2}$ .

$\int u^{3} - 3 u^{2} - 18 u d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{3} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int - 18 u d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 3 u^{2} d u + \int - 18 u d u$

Schritt 6

Da $- 3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 \int u^{2} d u + \int - 18 u d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int - 18 u d u$

Schritt 8

Da $- 18$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 18$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) - 18 \int u d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) - 18 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} - 18 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} - 18 \frac{u^{2}}{2} + C$

Schritt 10.2.2

Kombiniere $- 18$ und $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{- 18 u^{2}}{2} + C$

Schritt 10.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $2$ .

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Schritt 10.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18 u^{2}$ heraus.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 (- 9 u^{2})}{2} + C$

Schritt 10.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 (- 9 u^{2})}{2 (1)} + C$

Schritt 10.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 (- 9 u^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Schritt 10.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{- 9 u^{2}}{1} + C$

Schritt 10.2.3.2.4

Dividiere $- 9 u^{2}$ durch $1$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} - 9 u^{2} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $x + 6$ .

$\frac{{(x + 6)}^{4}}{4} - {(x + 6)}^{3} - 9 {(x + 6)}^{2} + C$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} {(x + 6)}^{4} - {(x + 6)}^{3} - 9 {(x + 6)}^{2} + C$