Analysis Beispiele

$\frac{x}{y} - x^{2} = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{x}{y} - x^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{y} - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - (2 x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - 2 x$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.1.1

Um $- 2 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - 2 x \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 2.4.1.2

Kombiniere $- 2 x$ und $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 2.4.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y - x y' - 2 x y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{- x y' - 2 y^{2} x + y}{y^{2}}$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{- x y' - 2 y^{2} x + y}{y^{2}} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Setze den Zähler gleich Null.

$- x y' - 2 y^{2} x + y = 0$

Schritt 5.2

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

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Schritt 5.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1.1

Addiere $2 y^{2} x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' + y = 2 y^{2} x$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' = 2 y^{2} x - y$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x y' = 2 y^{2} x - y$ durch $- x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x y' = 2 y^{2} x - y$ durch $- x$ .

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Schritt 5.2.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Schritt 5.2.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 y^{2}}{- 1} + \frac{- y}{- x}$

Schritt 5.2.2.3.1.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 y^{2}}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot (2 y^{2}) + \frac{- y}{- x}$

Schritt 5.2.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (2 y^{2})$ als $- (2 y^{2})$ um.

$y' = - (2 y^{2}) + \frac{- y}{- x}$

Schritt 5.2.2.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y' = - 2 y^{2} + \frac{- y}{- x}$

Schritt 5.2.2.3.1.4

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y' = - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$