Analysis Beispiele

$x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}} = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{\frac{1}{3}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y')$

Schritt 2.3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y')$

Schritt 2.3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y')$

Schritt 2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y')$

Schritt 2.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y')$

Schritt 2.3.7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y')$

Schritt 2.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y')$

Schritt 2.3.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - (\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y')$

Schritt 2.3.10

Kombiniere $\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ und $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

Schritt 2.3.11

Bringe $y^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}}{- 1} = \frac{- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}}{1} = \frac{- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$ durch $1$ .

$\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{- 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ durch $1$ .

$\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten mit $3 y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}}) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1.1

Vereinfache $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$ .

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Schritt 5.4.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.4.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.4.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 5.4.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.4.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = 3 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = 3 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ und $y^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = \frac{y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$