Analysis Beispiele

$\cos^{2} (x y) = x + y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\cos^{2} (x y)) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x y)$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (x y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (x y)$ .

$2 \cos (x y) \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x y$ .

$2 \cos (x y) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (x y) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x y$ .

$2 \cos (x y) (- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \cos (x y) (\sin (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y' + y)$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y') - 2 \cos (x y) \sin (x y) y$

Schritt 2.8.2

Stelle die Terme um.

$- 2 x \cos (x y) \sin (x y) y' - 2 y \cos (x y) \sin (x y)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 + y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 2 x \cos (x y) \sin (x y) y' - 2 y \cos (x y) \sin (x y) = 1 + y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) y' - 2 y \cos (x y) \sin (x y)$ um.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - 2 y \cos (x y) \sin (x y) = 1 + y'$

Schritt 5.2

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - 2 y \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Addiere $2 y \cos (x y) \sin (x y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + 2 y \cos (x y) \sin (x y)$

Schritt 5.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1

Füge Klammern hinzu.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + 2 y (\cos (x y) \sin (x y))$

Schritt 5.3.2.2

Stelle $2 y$ und $\cos (x y) \sin (x y)$ um.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \cos (x y) \sin (x y) (2 y)$

Schritt 5.3.2.3

Füge Klammern hinzu.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \cos (x y) (\sin (x y) \cdot 2) y$

Schritt 5.3.2.4

Stelle $\cos (x y)$ und $\sin (x y) \cdot 2$ um.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \sin (x y) \cdot 2 \cos (x y) y$

Schritt 5.3.2.5

Stelle $\sin (x y)$ und $2$ um.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + 2 \cdot \sin (x y) \cos (x y) y$

Schritt 5.3.2.6

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \sin (2 x y) y$

Schritt 5.3.3

Stelle die Faktoren in $1 + \sin (2 x y) y$ um.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + y \sin (2 x y)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y)$ heraus.

$y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y)) - y' = 1 + y \sin (2 x y)$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y)) + y' \cdot - 1 = 1 + y \sin (2 x y)$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y)) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1) = 1 + y \sin (2 x y)$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1) = 1 + y \sin (2 x y)$ durch $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1) = 1 + y \sin (2 x y)$ durch $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1$ .

$\frac{y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} + \frac{y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} + \frac{y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} + \frac{y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Schritt 5.5.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x \cos (x y) \sin (x y)$ heraus.

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- (2 x \cos (x y) \sin (x y)) - 1}$

Schritt 5.5.3.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- (2 x \cos (x y) \sin (x y)) - 1 (1)}$

Schritt 5.5.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x \cos (x y) \sin (x y)) - 1 (1)$ heraus.

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)}$

Schritt 5.5.3.5

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.5.3.5.1

Schreibe $- (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)$ als $- 1 (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)$ um.

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- 1 (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)}$

Schritt 5.5.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1 + y \sin (2 x y)}{2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y \sin (2 x y)}{2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1}$