Analysis Beispiele

$e^{2 x} = \sin (x + 8 y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (e^{2 x}) = \frac{d}{d x} (\sin (x + 8 y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Schritt 2.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x + 8 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 8 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + 8 y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + 8 y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 8 y$ .

$\cos (x + 8 y) \frac{d}{d x} [x + 8 y]$

Schritt 3.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 8 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 y]$ .

$\cos (x + 8 y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (x + 8 y) (1 + \frac{d}{d x} [8 y])$

Schritt 3.2.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 y$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + 8 y) (1 + 8 \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\cos (x + 8 y) (1 + 8 y')$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 e^{2 x} = \cos (x + 8 y) (1 + 8 y')$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\cos (x + 8 y) (1 + 8 y') = 2 e^{2 x}$ um.

$\cos (x + 8 y) (1 + 8 y') = 2 e^{2 x}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $\cos (x + 8 y) (1 + 8 y') = 2 e^{2 x}$ durch $\cos (x + 8 y)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\cos (x + 8 y) (1 + 8 y') = 2 e^{2 x}$ durch $\cos (x + 8 y)$ .

$\frac{\cos (x + 8 y) (1 + 8 y')}{\cos (x + 8 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x + 8 y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x + 8 y) (1 + 8 y')}{\cos (x + 8 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $1 + 8 y'$ durch $1$ .

$1 + 8 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)} - 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $8 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)} - 1$ durch $8$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)} - 1$ durch $8$ .

$\frac{8 y'}{8} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)}}{8} + \frac{- 1}{8}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y'}{8} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)}}{8} + \frac{- 1}{8}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)}}{8} + \frac{- 1}{8}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)} \cdot \frac{1}{8} + \frac{- 1}{8}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kombinieren.

$y' = \frac{2 e^{2 x} \cdot 1}{\cos (x + 8 y) \cdot 8} + \frac{- 1}{8}$

Schritt 5.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{2 x} \cdot 1$ heraus.

$y' = \frac{2 (e^{2 x} \cdot 1)}{\cos (x + 8 y) \cdot 8} + \frac{- 1}{8}$

Schritt 5.4.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $\cos (x + 8 y) \cdot 8$ heraus.

$y' = \frac{2 (e^{2 x} \cdot 1)}{2 (\cos (x + 8 y) \cdot 4)} + \frac{- 1}{8}$

Schritt 5.4.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (e^{2 x} \cdot 1)}{2 (\cos (x + 8 y) \cdot 4)} + \frac{- 1}{8}$

Schritt 5.4.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{e^{2 x} \cdot 1}{\cos (x + 8 y) \cdot 4} + \frac{- 1}{8}$

Schritt 5.4.3.1.4

Mutltipliziere $e^{2 x}$ mit $1$ .

$y' = \frac{e^{2 x}}{\cos (x + 8 y) \cdot 4} + \frac{- 1}{8}$

Schritt 5.4.3.1.5

Separiere Brüche.

$y' = \frac{e^{2 x}}{4} \cdot \frac{1}{\cos (x + 8 y)} + \frac{- 1}{8}$

Schritt 5.4.3.1.6

Wandle von $\frac{1}{\cos (x + 8 y)}$ nach $\sec (x + 8 y)$ um.

$y' = \frac{e^{2 x}}{4} \sec (x + 8 y) + \frac{- 1}{8}$

Schritt 5.4.3.1.7

Kombiniere $\frac{e^{2 x}}{4}$ und $\sec (x + 8 y)$ .

$y' = \frac{e^{2 x} \sec (x + 8 y)}{4} + \frac{- 1}{8}$

Schritt 5.4.3.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{e^{2 x} \sec (x + 8 y)}{4} - \frac{1}{8}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{2 x} \sec (x + 8 y)}{4} - \frac{1}{8}$