Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{8} = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{8}) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{8}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{8}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{8}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{6} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{8}]$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{2}{6} x + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{8}]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $\frac{2}{6}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{8}]$

Schritt 2.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 2.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x)}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{8}]$

Schritt 2.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 x}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{8}]$

Schritt 2.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{8}]$

Schritt 2.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{8}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{8}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- \frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{y^{2}}{8}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{x}{3} - \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{x}{3} - \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x}{3} - \frac{1}{8} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{x}{3} - \frac{1}{8} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{x}{3} - \frac{1}{8} (2 y y')$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x}{3} - 2 (\frac{1}{8}) (y y')$

Schritt 2.3.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x}{3} + \frac{- 2}{8} (y y')$

Schritt 2.3.6

Kombiniere $y$ und $\frac{- 2}{8}$ .

$\frac{x}{3} + \frac{y \cdot - 2}{8} y'$

Schritt 2.3.7

Kombiniere $\frac{y \cdot - 2}{8}$ und $y'$ .

$\frac{x}{3} + \frac{y \cdot - 2 y'}{8}$

Schritt 2.3.8

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{x}{3} + \frac{- 2 \cdot y y'}{8}$

Schritt 2.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $8$ .

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Schritt 2.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$\frac{x}{3} + \frac{2 (- y y')}{8}$

Schritt 2.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{x}{3} + \frac{2 (- y y')}{2 (4)}$

Schritt 2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{3} + \frac{2 (- y y')}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{3} + \frac{- y y'}{4}$

Schritt 2.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x}{3} - \frac{y y'}{4}$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{x}{3} - \frac{y y'}{4} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $\frac{x}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y y'}{4} = - \frac{x}{3}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 4$ .

$- 4 (- \frac{y y'}{4}) = - 4 (- \frac{x}{3})$

Schritt 5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache $- 4 (- \frac{y y'}{4})$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y y'}{4}$ in den Zähler.

$- 4 \frac{- y y'}{4} = - 4 (- \frac{x}{3})$

Schritt 5.3.1.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (- 1) \frac{- y y'}{4} = - 4 (- \frac{x}{3})$

Schritt 5.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 1 \frac{- y y'}{4} = - 4 (- \frac{x}{3})$

Schritt 5.3.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- (- y y') = - 4 (- \frac{x}{3})$

Schritt 5.3.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 5.3.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (y y') = - 4 (- \frac{x}{3})$

Schritt 5.3.1.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y y' = - 4 (- \frac{x}{3})$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Multipliziere $- 4 (- \frac{x}{3})$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y y' = 4 \frac{x}{3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{x}{3}$ .

$y y' = \frac{4 x}{3}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y y' = \frac{4 x}{3}$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y y' = \frac{4 x}{3}$ durch $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{4 x}{3}}{y}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{4 x}{3}}{y}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{4 x}{3}}{y}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{4 x}{3} \cdot \frac{1}{y}$

Schritt 5.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{4 x}{3}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$y' = \frac{4 x}{3 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y}$