Analysis Beispiele

$\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = 3$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{5}{x} + \frac{5}{y}) = \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{5}{x} + \frac{5}{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{y}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{y}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{y}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{y}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{y}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{5}{y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{y}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$- 5 x^{- 2} + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = y$ .

$- 5 x^{- 2} + 5 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 5 x^{- 2} + 5 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 5 x^{- 2} + 5 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $0$ .

$- 5 x^{- 2} + 5 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 5 x^{- 2} + 5 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Schritt 2.3.7

Subtrahiere $y'$ von $0$ .

$- 5 x^{- 2} + 5 \frac{- y'}{y^{2}}$

Schritt 2.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 5 x^{- 2} + 5 (- \frac{y'}{y^{2}})$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 x^{- 2} - 5 \frac{y'}{y^{2}}$

Schritt 2.3.10

Kombiniere $- 5$ und $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$- 5 x^{- 2} + \frac{- 5 y'}{y^{2}}$

Schritt 2.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 5 x^{- 2} - \frac{5 y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{2}} - \frac{5 y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 5}{x^{2}} - \frac{5 y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{x^{2}} - \frac{5 y'}{y^{2}}$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \frac{5}{x^{2}} - \frac{5 y'}{y^{2}} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $\frac{5}{x^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{5 y'}{y^{2}} = \frac{5}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{5 y'}{y^{2}} = \frac{5}{x^{2}}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{5 y'}{y^{2}} = \frac{5}{x^{2}}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{5 y'}{y^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{5}{x^{2}}}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{5 y'}{y^{2}}}{1} = \frac{\frac{5}{x^{2}}}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $\frac{5 y'}{y^{2}}$ durch $1$ .

$\frac{5 y'}{y^{2}} = \frac{\frac{5}{x^{2}}}{- 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{5}{x^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{5 y'}{y^{2}} = - 1 \cdot \frac{5}{x^{2}}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{5}{x^{2}}$ als $- \frac{5}{x^{2}}$ um.

$\frac{5 y'}{y^{2}} = - \frac{5}{x^{2}}$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$\frac{5 y'}{y^{2}} y^{2} = - \frac{5}{x^{2}} y^{2}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y'}{y^{2}} y^{2} = - \frac{5}{x^{2}} y^{2}$

Schritt 5.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 y' = - \frac{5}{x^{2}} y^{2}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache $- \frac{5}{x^{2}} y^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{5}{x^{2}}$ .

$5 y' = - \frac{y^{2} \cdot 5}{x^{2}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$5 y' = - \frac{5 y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $5 y' = - \frac{5 y^{2}}{x^{2}}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y' = - \frac{5 y^{2}}{x^{2}}$ durch $5$ .

$\frac{5 y'}{5} = \frac{- \frac{5 y^{2}}{x^{2}}}{5}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y'}{5} = \frac{- \frac{5 y^{2}}{x^{2}}}{5}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- \frac{5 y^{2}}{x^{2}}}{5}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = - \frac{5 y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 5.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.5.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 y^{2}}{x^{2}}$ in den Zähler.

$y' = \frac{- 5 y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 5.5.3.2.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{5 (- y^{2})}{x^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 5.5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{5 (- y^{2})}{x^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 5.5.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$