Analysis Beispiele

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{y}$ .

$- x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = y$ .

$- x^{- 2} - \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $y$ mit $0$ .

$- x^{- 2} - \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- x^{- 2} - \frac{0 - y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Schritt 2.3.8

Subtrahiere $y'$ von $0$ .

$- x^{- 2} - \frac{- y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Schritt 2.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- x^{- 2} - - \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Schritt 2.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- x^{- 2} + 1 \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Schritt 2.3.11

Mutltipliziere $\frac{y'}{y^{2}}$ mit $1$ .

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Schritt 2.3.12

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}} + 0$

Schritt 2.3.13

Addiere $\frac{y'}{y^{2}}$ und $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{y'}{y^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{y'}{y^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $\frac{1}{x^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y'}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Schritt 5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}}$