Analysis Beispiele

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Schritt 2.2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Schritt 2.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Schritt 2.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Schritt 2.2.8

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = y^{2}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - 2 (y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.8

Subtrahiere $2 y y'$ von $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{{(y^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.9

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{y^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{y^{4}}$

Schritt 2.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{4}$ .

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Schritt 2.3.10.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y^{4}}$

Schritt 2.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.10.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{4}$ heraus.

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Schritt 2.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Schritt 2.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y'}{y^{3}}$

Schritt 2.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 x^{- 3} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $\frac{2}{x^{3}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 y'}{y^{3}}}{- 1} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{2 y'}{y^{3}}}{1} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $\frac{2 y'}{y^{3}}$ durch $1$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = - 1 \cdot \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{2}{x^{3}}$ als $- \frac{2}{x^{3}}$ um.

$\frac{2 y'}{y^{3}} = - \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten mit $y^{3}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} y^{3} = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y'}{y^{3}} y^{3} = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

Schritt 5.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y' = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache $- \frac{2}{x^{3}} y^{3}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kombiniere $y^{3}$ und $\frac{2}{x^{3}}$ .

$2 y' = - \frac{y^{3} \cdot 2}{x^{3}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ durch $2$ .

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ in den Zähler.

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.5.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.5.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y^{3}}{x^{3}}$

Schritt 5.5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{3}}{x^{3}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{3}}{x^{3}}$