Analysis Beispiele

$x^{3} + \cos (y) = x^{2} y^{4}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + \cos (y)) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{4})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + \cos (y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$3 x^{2} - \sin (u) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} - \sin (y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} - \sin (y) y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{4}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{2} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$4 \cdot x^{2} y^{3} \frac{d}{d x} [y] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 x^{2} y^{3} y' + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{2} y^{3} y' + y^{4} (2 x)$

Schritt 3.6

Stelle um.

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Schritt 3.6.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{4}$ .

$4 x^{2} y^{3} y' + 2 \cdot y^{4} x$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

$4 y^{3} x^{2} y' + 2 y^{4} x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} - \sin (y) y' = 4 y^{3} x^{2} y' + 2 y^{4} x$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $3 x^{2} - \sin (y) y'$ um.

$3 x^{2} - y' \sin (y) = 4 y^{3} x^{2} y' + 2 y^{4} x$

Schritt 5.2

Subtrahiere $4 y^{3} x^{2} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - y' \sin (y) - 4 y^{3} x^{2} y' = 2 y^{4} x$

Schritt 5.3

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' \sin (y) - 4 y^{3} x^{2} y' = 2 y^{4} x - 3 x^{2}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $- y' \sin (y) - 4 y^{3} x^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y' \sin (y)$ heraus.

$y' (- 1 \sin (y)) - 4 y^{3} x^{2} y' = 2 y^{4} x - 3 x^{2}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 4 y^{3} x^{2} y'$ heraus.

$y' (- 1 \sin (y)) + y' (- 4 y^{3} x^{2}) = 2 y^{4} x - 3 x^{2}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 1 \sin (y)) + y' (- 4 y^{3} x^{2})$ heraus.

$y' (- 1 \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}) = 2 y^{4} x - 3 x^{2}$

Schritt 5.5

Schreibe $- 1 \sin (y)$ als $- \sin (y)$ um.

$y' (- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}) = 2 y^{4} x - 3 x^{2}$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $y' (- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}) = 2 y^{4} x - 3 x^{2}$ durch $- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}) = 2 y^{4} x - 3 x^{2}$ durch $- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{y' (- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2})}{- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}} = \frac{2 y^{4} x}{- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}} + \frac{- 3 x^{2}}{- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2})}{- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}} = \frac{2 y^{4} x}{- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}} + \frac{- 3 x^{2}}{- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}}$

Schritt 5.6.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 y^{4} x}{- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}} + \frac{- 3 x^{2}}{- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 y^{4} x}{- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}} - \frac{3 x^{2}}{- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}}$

Schritt 5.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 y^{4} x - 3 x^{2}}{- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}}$

Schritt 5.6.3.3

Faktorisiere $x$ aus $2 y^{4} x - 3 x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.6.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 y^{4} x$ heraus.

$y' = \frac{x (2 y^{4}) - 3 x^{2}}{- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}}$

Schritt 5.6.3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (2 y^{4}) + x (- 3 x)}{- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}}$

Schritt 5.6.3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2 y^{4}) + x (- 3 x)$ heraus.

$y' = \frac{x (2 y^{4} - 3 x)}{- \sin (y) - 4 y^{3} x^{2}}$

Schritt 5.6.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (y)$ heraus.

$y' = \frac{x (2 y^{4} - 3 x)}{- (\sin (y)) - 4 y^{3} x^{2}}$

Schritt 5.6.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 y^{3} x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (2 y^{4} - 3 x)}{- (\sin (y)) - (4 y^{3} x^{2})}$

Schritt 5.6.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (y)) - (4 y^{3} x^{2})$ heraus.

$y' = \frac{x (2 y^{4} - 3 x)}{- (\sin (y) + 4 y^{3} x^{2})}$

Schritt 5.6.3.7

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.6.3.7.1

Schreibe $- (\sin (y) + 4 y^{3} x^{2})$ als $- 1 (\sin (y) + 4 y^{3} x^{2})$ um.

$y' = \frac{x (2 y^{4} - 3 x)}{- 1 (\sin (y) + 4 y^{3} x^{2})}$

Schritt 5.6.3.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x (2 y^{4} - 3 x)}{\sin (y) + 4 y^{3} x^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (2 y^{4} - 3 x)}{\sin (y) + 4 y^{3} x^{2}}$