Analysis Beispiele

$x^{9} (x + y) = y^{2} (7 x - y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{9} (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} (7 x - y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{9}$ und $g (x) = x + y$ .

$x^{9} \frac{d}{d x} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{9} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{9} (1 + y') + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 9$ .

$x^{9} (1 + y') + (x + y) (9 x^{8})$

Schritt 2.5

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x + y$ .

$x^{9} (1 + y') + 9 \cdot (x + y) x^{8}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{9} \cdot 1 + x^{9} y' + 9 (x + y) x^{8}$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{9} \cdot 1 + x^{9} y' + (9 x + 9 y) x^{8}$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{9} \cdot 1 + x^{9} y' + 9 x \cdot x^{8} + 9 y x^{8}$

Schritt 2.6.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.6.4.1

Mutltipliziere $x^{9}$ mit $1$ .

$x^{9} + x^{9} y' + 9 x \cdot x^{8} + 9 y x^{8}$

Schritt 2.6.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{8}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.4.2.1

Bewege $x^{8}$ .

$x^{9} + x^{9} y' + 9 (x^{8} x) + 9 y x^{8}$

Schritt 2.6.4.2.2

Mutltipliziere $x^{8}$ mit $x$ .

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Schritt 2.6.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{9} + x^{9} y' + 9 (x^{8} x^{1}) + 9 y x^{8}$

Schritt 2.6.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{8 + 1} + 9 y x^{8}$

Schritt 2.6.4.2.3

Addiere $8$ und $1$ .

$x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{9} + 9 y x^{8}$

Schritt 2.6.4.3

Addiere $x^{9}$ und $9 x^{9}$ .

$10 x^{9} + x^{9} y' + 9 y x^{8}$

Schritt 2.6.5

Stelle die Terme um.

$10 x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{8} y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y^{2}$ und $g (x) = 7 x - y$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [7 x - y] + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y^{2} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$y^{2} (7 + \frac{d}{d x} [- y]) + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} (7 - \frac{d}{d x} [y]) + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y^{2} (7 - y') + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$y^{2} (7 - y') + (7 x - y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y^{2} (7 - y') + (7 x - y) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$y^{2} (7 - y') + (7 x - y) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $7 x - y$ .

$y^{2} (7 - y') + 2 \cdot (7 x - y) y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.6

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y^{2} (7 - y') + 2 (7 x - y) y y'$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} \cdot 7 + y^{2} (- y') + 2 (7 x - y) y y'$

Schritt 3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} \cdot 7 + y^{2} (- y') + (2 (7 x) + 2 (- y)) y y'$

Schritt 3.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} \cdot 7 + y^{2} (- y') + (2 (7 x) y + 2 (- y) y) y'$

Schritt 3.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} \cdot 7 + y^{2} (- y') + 2 (7 x) y y' + 2 (- y) y y'$

Schritt 3.7.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.7.5.1

Bringe $7$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$7 \cdot y^{2} + y^{2} (- y') + 2 (7 x) y y' + 2 (- y) y y'$

Schritt 3.7.5.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$7 y^{2} + y^{2} (- y') + 14 x y y' + 2 (- y) y y'$

Schritt 3.7.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$7 y^{2} + y^{2} (- y') + 14 x y y' - 2 y \cdot y y'$

Schritt 3.7.5.4

Potenziere $y$ mit $1$ .

$7 y^{2} + y^{2} (- y') + 14 x y y' - 2 (y^{1} y) y'$

Schritt 3.7.5.5

Potenziere $y$ mit $1$ .

$7 y^{2} + y^{2} (- y') + 14 x y y' - 2 (y^{1} y^{1}) y'$

Schritt 3.7.5.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7 y^{2} + y^{2} (- y') + 14 x y y' - 2 y^{1 + 1} y'$

Schritt 3.7.5.7

Addiere $1$ und $1$ .

$7 y^{2} + y^{2} (- y') + 14 x y y' - 2 y^{2} y'$

Schritt 3.7.5.8

Subtrahiere $2 y^{2} y'$ von $y^{2} (- y')$ .

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Schritt 3.7.5.8.1

Stelle $y^{2}$ und $- 1$ um.

$7 y^{2} - 1 \cdot y^{2} y' - 2 y^{2} y' + 14 x y y'$

Schritt 3.7.5.8.2

Subtrahiere $2 y^{2} y'$ von $- 1 \cdot y^{2} y'$ .

$7 y^{2} - 3 y^{2} y' + 14 x y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$10 x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{8} y = 7 y^{2} - 3 y^{2} y' + 14 x y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Da $y'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$7 y^{2} - 3 y^{2} y' + 14 x y y' = 10 x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{8} y$

Schritt 5.2

Subtrahiere $x^{9} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 y^{2} - 3 y^{2} y' + 14 x y y' - x^{9} y' = 10 x^{9} + 9 x^{8} y$

Schritt 5.3

Subtrahiere $7 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y^{2} y' + 14 x y y' - x^{9} y' = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y^{2} y' + 14 x y y' - x^{9} y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (- 3 y^{2}) + 14 x y y' - x^{9} y' = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $14 x y y'$ heraus.

$y' (- 3 y^{2}) + y' (14 x y) - x^{9} y' = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $- x^{9} y'$ heraus.

$y' (- 3 y^{2}) + y' (14 x y) + y' (- x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 3 y^{2}) + y' (14 x y)$ heraus.

$y' (- 3 y^{2} + 14 x y) + y' (- x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 3 y^{2} + 14 x y) + y' (- x^{9})$ heraus.

$y' (- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$ durch $- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$ durch $- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}$ .

$\frac{y' (- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9})}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} = \frac{10 x^{9}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} + \frac{9 x^{8} y}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} + \frac{- 7 y^{2}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{10 x^{9}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} + \frac{9 x^{8} y}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} + \frac{- 7 y^{2}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{10 x^{9}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} + \frac{9 x^{8} y}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} - \frac{7 y^{2}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} - \frac{7 y^{2}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}}$

Schritt 5.5.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}}$

Schritt 5.5.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- (3 y^{2}) + 14 x y - x^{9}}$

Schritt 5.5.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $14 x y$ heraus.

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- (3 y^{2}) - (- 14 x y) - x^{9}}$

Schritt 5.5.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 y^{2}) - (- 14 x y)$ heraus.

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- (3 y^{2} - 14 x y) - x^{9}}$

Schritt 5.5.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{9}$ heraus.

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- (3 y^{2} - 14 x y) - (x^{9})}$

Schritt 5.5.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 y^{2} - 14 x y) - (x^{9})$ heraus.

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- (3 y^{2} - 14 x y + x^{9})}$

Schritt 5.5.3.9

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.5.3.9.1

Schreibe $- (3 y^{2} - 14 x y + x^{9})$ als $- 1 (3 y^{2} - 14 x y + x^{9})$ um.

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- 1 (3 y^{2} - 14 x y + x^{9})}$

Schritt 5.5.3.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{3 y^{2} - 14 x y + x^{9}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{3 y^{2} - 14 x y + x^{9}}$