Analysis Beispiele

$x^{5 y} = y^{6 x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{5 y}) = \frac{d}{d x} (y^{6 x})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere mit Hilfe der Potenzregel, welche besagt, dass $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ gleich $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ist, wobei $f = x$ und $g = 5 y$ ist.

$\frac{d}{d x} [x] (5 y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

Schritt 2.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 (5 y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 (y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

Schritt 2.2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 y$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 y x^{5 y - 1} + 5 \frac{d}{d x} [y] (x^{5 y} \ln (x))$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 y x^{5 y - 1} + 5 y' (x^{5 y} \ln (x))$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Stelle die Terme um.

$5 x^{5 y - 1} y + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$

Schritt 2.4.2

Stelle die Faktoren in $5 x^{5 y - 1} y + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$ um.

$5 y x^{5 y - 1} + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere mit Hilfe der Potenzregel, welche besagt, dass $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ gleich $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ist, wobei $f = y$ und $g = 6 x$ ist.

$\frac{d}{d x} [y] (6 x y^{6 x - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] (y^{6 x} \ln (y))$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] (y^{6 x} \ln (y))$

Schritt 3.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 \frac{d}{d x} [x] (y^{6 x} \ln (y))$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 \cdot 1 (y^{6 x} \ln (y))$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 (y^{6 x} \ln (y))$

Schritt 3.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Stelle die Terme um.

$6 y^{6 x - 1} x y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

Schritt 3.6.2

Stelle die Faktoren in $6 y^{6 x - 1} x y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$ um.

$6 x y^{6 x - 1} y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$5 y x^{5 y - 1} + 5 x^{5 y} \ln (x) y' = 6 x y^{6 x - 1} y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$5 x^{5 y} \ln (x) y' - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren in $5 x^{5 y} \ln (x) y' - 6 y^{6 x} \ln (y)$ um.

$5 y' x^{5 y} \ln (x) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren in $- 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$ um.

$5 y' x^{5 y} \ln (x) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Schritt 5.4

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1.1

Vereinfache $5 \ln (x)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Schritt 5.4.1.2

Vereinfache $- 6 \ln (y)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) + y^{6 x} (- \ln (y^{6})) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Schritt 5.4.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - y^{6 x} \ln (y^{6}) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Schritt 5.5

Stelle die Faktoren in $y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - y^{6 x} \ln (y^{6})$ um.

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - \ln (y^{6}) y^{6 x} = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Schritt 5.6

Subtrahiere $6 x y' y^{6 x - 1}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - \ln (y^{6}) y^{6 x} - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1}$

Schritt 5.7

Addiere $\ln (y^{6}) y^{6 x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Schritt 5.8

Faktorisiere $y'$ aus $y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y' y^{6 x - 1}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' \ln (x^{5}) x^{5 y}$ heraus.

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Schritt 5.8.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 6 x y' y^{6 x - 1}$ heraus.

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) + y' (- 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Schritt 5.8.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) + y' (- 6 x y^{6 x - 1})$ heraus.

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Schritt 5.9

Teile jeden Ausdruck in $y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$ durch $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$ durch $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ .

$\frac{y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} = \frac{- 5 y x^{5 y - 1}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} + \frac{\ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Schritt 5.9.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.9.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 5 y x^{5 y - 1}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} + \frac{\ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Schritt 5.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Schritt 5.9.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 y x^{5 y - 1}$ heraus.

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1}) + \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Schritt 5.9.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (y^{6}) y^{6 x}$ heraus.

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1}) - (- \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Schritt 5.9.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 y x^{5 y - 1}) - (- \ln (y^{6}) y^{6 x})$ heraus.

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Schritt 5.9.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.3.5.1

Schreibe $- (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})$ als $- 1 (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})$ um.

$y' = \frac{- 1 (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Schritt 5.9.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$