Analysis Beispiele

$x^{5} + y^{3} = \frac{1}{y}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{5} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{y})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} + y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 x^{4} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$5 x^{4} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 x^{4} + 3 y^{2} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{y \cdot 0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $y$ mit $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 3.2.3.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [y]$ von $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 3.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \frac{y'}{y^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$5 x^{4} + 3 y^{2} y' = - \frac{y'}{y^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$(5 x^{4} + 3 y^{2} y') y^{2} = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $(5 x^{4} + 3 y^{2} y') y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y^{2} y' y^{2} = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Bewege $y^{2}$ .

$5 x^{4} y^{2} + 3 (y^{2} y^{2}) y' = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y^{2 + 2} y' = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$5 x^{4} y^{2} + 3 y^{4} y' = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3

Bewege $y^{4}$ .

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y'}{y^{2}}$ in den Zähler.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = \frac{- y'}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = \frac{- y'}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = - y'$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Addiere $y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} + y' = 0$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $5 x^{4} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y' y^{4} + y' = - 5 x^{4} y^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $3 y' y^{4} + y'$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $3 y' y^{4}$ heraus.

$y' (3 y^{4}) + y' = - 5 x^{4} y^{2}$

Schritt 5.3.3.2

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' (3 y^{4}) + y' = - 5 x^{4} y^{2}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' (3 y^{4}) + y' \cdot 1 = - 5 x^{4} y^{2}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{4}) + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (3 y^{4} + 1) = - 5 x^{4} y^{2}$

Schritt 5.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{4} + 1) = - 5 x^{4} y^{2}$ durch $3 y^{4} + 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{4} + 1) = - 5 x^{4} y^{2}$ durch $3 y^{4} + 1$ .

$\frac{y' (3 y^{4} + 1)}{3 y^{4} + 1} = \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y^{4} + 1$ .

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Schritt 5.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y^{4} + 1)}{3 y^{4} + 1} = \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

Schritt 5.3.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$