Analysis Beispiele

$x^{3} + x^{2} \cos (y) = y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + x^{2} \cos (y)) = \frac{d}{d x} (y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + x^{2} \cos (y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (y)$ .

$3 x^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + x^{2} (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- \sin (y) y') + \cos (y) (2 x)$

Schritt 2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (y)$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x$

Schritt 2.3

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} - x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} - x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) = 3 y^{2} y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $3 x^{2} - x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y)$ um.

$3 x^{2} - x^{2} y' \sin (y) + 2 x \cos (y) = 3 y^{2} y'$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3 y^{2} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - x^{2} y' \sin (y) + 2 x \cos (y) - 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} y' \sin (y) + 2 x \cos (y) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $2 x \cos (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} y' \sin (y) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $- x^{2} y' \sin (y) - 3 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $- x^{2} y' \sin (y)$ heraus.

$y' (- x^{2} \sin (y)) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' (- 3 y^{2}) = - 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- x^{2} \sin (y)) + y' (- 3 y^{2})$ heraus.

$y' (- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}) = - 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}) = - 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$ durch $- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}) = - 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$ durch $- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2})}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2})}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} - \frac{2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.5.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$ heraus.

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Schritt 5.5.3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- 3 x) - 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x \cos (y)$ heraus.

$y' = \frac{x (- 3 x) + x (- 2 \cos (y))}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 3 x) + x (- 2 \cos (y))$ heraus.

$y' = \frac{x (- 3 x - 2 \cos (y))}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$y' = \frac{x (- (3 x) - 2 \cos (y))}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \cos (y)$ heraus.

$y' = \frac{x (- (3 x) - (2 \cos (y)))}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - (2 \cos (y))$ heraus.

$y' = \frac{x (- (3 x + 2 \cos (y)))}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.6

Schreibe $- (3 x + 2 \cos (y))$ als $- 1 (3 x + 2 \cos (y))$ um.

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 \cos (y)))}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} \sin (y)$ heraus.

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 \cos (y)))}{- (x^{2} \sin (y)) - 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 \cos (y)))}{- (x^{2} \sin (y)) - (3 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} \sin (y)) - (3 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 \cos (y)))}{- (x^{2} \sin (y) + 3 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.2.10

Schreibe $- (x^{2} \sin (y) + 3 y^{2})$ als $- 1 (x^{2} \sin (y) + 3 y^{2})$ um.

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 \cos (y)))}{- 1 (x^{2} \sin (y) + 3 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 \cos (y)))}{- 1 (x^{2} \sin (y) + 3 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.2.12

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x (3 x + 2 \cos (y))}{x^{2} \sin (y) + 3 y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x + 2 \cos (y))}{x^{2} \sin (y) + 3 y^{2}}$