Analysis Beispiele

$x^{3} y^{2} = \cos (π y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y^{2}) = \frac{d}{d x} (\cos (π y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x^{3} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})$

Schritt 2.6

Stelle um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 \cdot y^{2} x^{2}$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = π y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $π y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [π y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $π y$ .

$- \sin (π y) \frac{d}{d x} [π y]$

Schritt 3.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π y$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (π y) (π \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \sin (π y) (π y')$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren von $- \sin (π y) (π y')$ um.

$- π \sin (π y) y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} = - π \sin (π y) y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- π \sin (π y) y'$ um.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} = - π y' \sin (π y)$

Schritt 5.2

Addiere $π y' \sin (π y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} + π y' \sin (π y) = 0$

Schritt 5.3

Subtrahiere $3 x^{2} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} y y' + π y' \sin (π y) = - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $2 x^{3} y y' + π y' \sin (π y)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 x^{3} y y'$ heraus.

$y' (2 x^{3} y) + π y' \sin (π y) = - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $π y' \sin (π y)$ heraus.

$y' (2 x^{3} y) + y' (π \sin (π y)) = - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 x^{3} y) + y' (π \sin (π y))$ heraus.

$y' (2 x^{3} y + π \sin (π y)) = - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 x^{3} y + π \sin (π y)) = - 3 x^{2} y^{2}$ durch $2 x^{3} y + π \sin (π y)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 x^{3} y + π \sin (π y)) = - 3 x^{2} y^{2}$ durch $2 x^{3} y + π \sin (π y)$ .

$\frac{y' (2 x^{3} y + π \sin (π y))}{2 x^{3} y + π \sin (π y)} = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y + π \sin (π y)}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x^{3} y + π \sin (π y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 x^{3} y + π \sin (π y))}{2 x^{3} y + π \sin (π y)} = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y + π \sin (π y)}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y + π \sin (π y)}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y + π \sin (π y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y + π \sin (π y)}$