Analysis Beispiele

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 2 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2 y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{x y' - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x y' - y \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

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Schritt 2.3.1

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}}$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.1.1

Um $\frac{x y' - y}{x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.1.2

Um $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 2.4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x^{2} y^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x y' - y}{x^{2}}$ mit $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 2.4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{(y - x y') x^{2}}{y^{2} x^{2}}$

Schritt 2.4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $y^{2} x^{2}$ um.

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{(y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Schritt 2.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x y' - y) y^{2} + (y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} = 2 y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2})$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} (x y') + y^{2} (- y) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{2} x y' - y^{2} y + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2.3

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1.2.3.1

Bewege $y$ .

$y^{2} x y' - (y \cdot y^{2}) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.3.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} x y' - (y^{1} y^{2}) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{2} x y' - y^{1 + 2} + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y + x^{2} (- x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{2} (x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1.2.6.1

Bewege $x$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - (x \cdot x^{2}) y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - (x^{1} x^{2}) y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{1 + 2} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.2.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.1.3.1

Bewege $y^{2}$ .

$x y' y^{2} - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.3.2

Stelle $x$ und $y'$ um.

$y' x y^{2} - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.3.3

Bewege $x^{3}$ .

$y' x y^{2} - y^{3} + x^{2} y - y' x^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.3.4

Bewege $- y^{3}$ .

$y' x y^{2} + x^{2} y - y' x^{3} - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.3.5

Bewege $x^{2} y$ .

$y' x y^{2} - y' x^{3} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.1.1.3.6

Stelle $y' x y^{2}$ und $- y' x^{3}$ um.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Entferne die Klammern.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' x^{2} y^{2}$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $2 y' x^{2} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} - 2 y' x^{2} y^{2} = 0$

Schritt 5.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} - y^{3} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $y^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y' x$ aus $- y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $y' x$ aus $- y' x^{3}$ heraus.

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x y^{2}$ heraus.

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $y' x$ aus $- 2 y' x^{2} y^{2}$ heraus.

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} + y' x (- 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2}$ heraus.

$y' x (- 1 x^{2} + y^{2}) + y' x (- 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x (- 1 x^{2} + y^{2}) + y' x (- 2 x y^{2})$ heraus.

$y' x (- 1 x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Schritt 5.3.5

Teile jeden Ausdruck in $y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$ durch $x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$ durch $x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})$ .

$\frac{y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}$ .

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Schritt 5.3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.3.5.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} y$ heraus.

$y' = \frac{x (- x y)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.5.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x (- x y)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.2

Um $- \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{x y x}{(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x$ um.

$y' = - \frac{x y x}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- x y x + y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.5.3.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- x y x + y^{3}$ heraus.

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Schritt 5.3.5.3.5.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- x y x$ heraus.

$y' = \frac{y (- x \cdot x) + y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.5.1.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{y (- x \cdot x) + y \cdot y^{2}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.5.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- x \cdot x) + y \cdot y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (- x \cdot x + y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.5.2

Schreibe $x \cdot x$ als $x^{2}$ um.

$y' = \frac{y (- x^{2} + y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.5.3

Stelle $- x^{2}$ und $y^{2}$ um.

$y' = \frac{y (y^{2} - x^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.5.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = x$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.3.5.3.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2}) + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2}) - 1 (- y^{2}) - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2}) - 2 x y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2}) - (2 x y^{2}))}$

Schritt 5.3.5.3.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - y^{2}) - (2 x y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2}))}$

Schritt 5.3.5.3.6.6

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.3.5.3.6.6.1

Schreibe $- (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})$ als $- 1 (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})$ um.

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- 1 (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2}))}$

Schritt 5.3.5.3.6.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y (y + x) (y - x)}{x (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + x) (y - x)}{x (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})}$