Analysis Beispiele

$y^{2} (2 - x) = x^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2} (2 - x)) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y^{2}$ und $g (x) = 2 - x$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [2 - x] + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y^{2} (- 1 \cdot 1) + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y^{2} \cdot - 1 + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$- 1 \cdot y^{2} + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.6.3

Schreibe $- 1 y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$- y^{2} + (2 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- y^{2} + (2 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- y^{2} + (2 - x) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- y^{2} + (2 - x) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 - x$ .

$- y^{2} + 2 \cdot (2 - x) y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- y^{2} + 2 (2 - x) y y'$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y^{2} + (2 \cdot 2 + 2 (- x)) y y'$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- y^{2} + (2 \cdot 2 y + 2 (- x) y) y'$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- y^{2} + 2 \cdot 2 y y' + 2 (- x) y y'$

Schritt 2.6.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- y^{2} + 4 y y' + 2 (- x) y y'$

Schritt 2.6.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- y^{2} + 4 y y' - 2 x y y'$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- y^{2} + 4 y y' - 2 x y y' = 3 x^{2}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y y' - 2 x y y' = 3 x^{2} + y^{2}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $4 y y' - 2 x y y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2 y y'$ aus $4 y y'$ heraus.

$2 y y' \cdot 2 - 2 x y y' = 3 x^{2} + y^{2}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $- 2 x y y'$ heraus.

$2 y y' \cdot 2 + 2 y y' (- x) = 3 x^{2} + y^{2}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' \cdot 2 + 2 y y' (- x)$ heraus.

$2 y y' (2 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (2 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$ durch $2 y (2 - x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (2 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$ durch $2 y (2 - x)$ .

$\frac{2 y y' (2 - x)}{2 y (2 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y' (2 - x)}{2 y (2 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (2 - x)}{y (2 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (2 - x)}{y (2 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (2 - x)}{2 - x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - x$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 - x)}{2 - x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (2 - x)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y \cdot y}{2 y (2 - x)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y (2 - x)$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y \cdot y}{y (2 (2 - x))}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y \cdot y}{y (2 (2 - x))}$

Schritt 5.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y}{2 (2 - x)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (2 - x)} + \frac{y}{2 (2 - x)}$