Analysis Beispiele

$x e^{y} - y e^{x} = 9$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x e^{y} - y e^{x}) = \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{y} - y e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y e^{x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y e^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = e^{x}$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - (y \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - (y e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x e^{y} y' + e^{y} - (y e^{x} + e^{x} y')$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x e^{y} y' + e^{y} - (y e^{x}) - (e^{x} y')$

Schritt 2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x e^{y} y' + e^{y} - y e^{x} - e^{x} y'$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$e^{y} x y' - e^{x} y - e^{x} y' + e^{y}$

Schritt 2.4.4

Stelle die Faktoren in $e^{y} x y' - e^{x} y - e^{x} y' + e^{y}$ um.

$x e^{y} y' - y e^{x} - e^{x} y' + e^{y}$

Schritt 3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x e^{y} y' - y e^{x} - e^{x} y' + e^{y} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $x e^{y} y' - y e^{x} - e^{x} y' + e^{y}$ um.

$x y' e^{y} - y e^{x} - y' e^{x} + e^{y} = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $y e^{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y' e^{y} - y' e^{x} + e^{y} = y e^{x}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $e^{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' e^{y} - y' e^{x} = y e^{x} - e^{y}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $x y' e^{y} - y' e^{x}$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y' e^{y}$ heraus.

$y' (x e^{y}) - y' e^{x} = y e^{x} - e^{y}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y' e^{x}$ heraus.

$y' (x e^{y}) + y' (- 1 e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x e^{y}) + y' (- 1 e^{x})$ heraus.

$y' (x e^{y} - 1 e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$

Schritt 5.4

Schreibe $- 1 e^{x}$ als $- e^{x}$ um.

$y' (x e^{y} - e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (x e^{y} - e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$ durch $x e^{y} - e^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x e^{y} - e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$ durch $x e^{y} - e^{x}$ .

$\frac{y' (x e^{y} - e^{x})}{x e^{y} - e^{x}} = \frac{y e^{x}}{x e^{y} - e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x e^{y} - e^{x}$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x e^{y} - e^{x})}{x e^{y} - e^{x}} = \frac{y e^{x}}{x e^{y} - e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y e^{x}}{x e^{y} - e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y e^{x} - e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y e^{x} - e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$