Analysis Beispiele

$x^{x} y^{2} + 3 y = 4 x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{x} y^{2} + 3 y) = \frac{d}{d x} (4 x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{x} y^{2} + 3 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{x} y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{x}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x^{x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$x^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{x} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$x^{x} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{x} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.4

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 2.2.4.1

Schreibe $x^{x}$ als $e^{\ln (x^{x})}$ um.

$x^{x} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.4.2

Zerlege $\ln (x^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x^{x} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x \ln (x)$ .

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Schritt 2.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x \ln (x)$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x \ln (x)$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.7

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{x}$ .

$2 \cdot x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.10

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$2 x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.11.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.2.12

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)) + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)) + 3 y'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} \cdot 1 + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 3 y'$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 3 y'$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$2 x^{x} y y' + e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x) + 3 y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x^{x} y y' + e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x) + 3 y' = 4$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x) = - 2 x^{x} y y' - 3 y' + 4$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren in $e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x)$ um.

$y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) = - 2 x^{x} y y' - 3 y' + 4$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren in $- 2 x^{x} y y' - 3 y' + 4$ um.

$y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) = - 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4$

Schritt 5.4

Schreibe die Gleichung als $- 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x)$ um.

$- 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 5.5

Stelle die Faktoren in $y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x)$ um.

$- 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}$

Schritt 5.6

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y y' x^{x} - 3 y' = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

Schritt 5.7

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y' x^{x} - 3 y'$ heraus.

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Schritt 5.7.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y' x^{x}$ heraus.

$y' (- 2 y x^{x}) - 3 y' = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

Schritt 5.7.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y'$ heraus.

$y' (- 2 y x^{x}) + y' \cdot - 3 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

Schritt 5.7.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 2 y x^{x}) + y' \cdot - 3$ heraus.

$y' (- 2 y x^{x} - 3) = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

Schritt 5.8

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 2 y x^{x} - 3) = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$ durch $- 2 y x^{x} - 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.8.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 2 y x^{x} - 3) = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$ durch $- 2 y x^{x} - 3$ .

$\frac{y' (- 2 y x^{x} - 3)}{- 2 y x^{x} - 3} = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{- 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

Schritt 5.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 y x^{x} - 3$ .

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Schritt 5.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 2 y x^{x} - 3)}{- 2 y x^{x} - 3} = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{- 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

Schritt 5.8.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{- 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

Schritt 5.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} - \frac{4}{- 2 y x^{x} - 3}$

Schritt 5.8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} - \frac{4}{- 2 y x^{x} - 3}$

Schritt 5.8.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

Schritt 5.8.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y x^{x}$ heraus.

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- (2 y x^{x}) - 3}$

Schritt 5.8.3.5

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- (2 y x^{x}) - 1 (3)}$

Schritt 5.8.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y x^{x}) - 1 (3)$ heraus.

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- (2 y x^{x} + 3)}$

Schritt 5.8.3.7

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.8.3.7.1

Schreibe $- (2 y x^{x} + 3)$ als $- 1 (2 y x^{x} + 3)$ um.

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- 1 (2 y x^{x} + 3)}$

Schritt 5.8.3.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{2 y x^{x} + 3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{2 y x^{x} + 3}$