Analysis Beispiele

$\frac{x y - y^{2}}{y - x} = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{x y - y^{2}}{y - x}) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x y - y^{2}$ und $g (x) = y - x$ .

$\frac{(y - x) \frac{d}{d x} [x y - y^{2}] - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y - y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{(y - x) (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$\frac{(y - x) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{(y - x) (x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.5.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - \frac{d}{d x} [y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - (2 u \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - (2 y \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 (y \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.8

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.10

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - \frac{d}{d x} [x])}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - 1 \cdot 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14

Vereinfache.

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Schritt 2.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.14.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.14.2.1.1

Multipliziere $(y - x) (x y' + y - 2 y y')$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{y (x y') + y \cdot y + y (- 2 y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.14.2.1.2.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} + y (- 2 y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y (y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.1.2.3

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.14.2.1.2.3.1

Bewege $y$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 (y \cdot y) y' - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.1.2.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.1.2.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.14.2.1.2.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - (x \cdot x) y' - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.1.2.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 2 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.1.3

Addiere $y (x y')$ und $2 x y y'$ .

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Schritt 2.14.2.1.3.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + x y y' + 2 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.1.3.2

Addiere $x y y'$ und $2 x y y'$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.1.4

Multipliziere $- - y^{2}$ .

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Schritt 2.14.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- x y + 1 y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.1.4.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- x y + y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.1.5

Multipliziere $(- x y + y^{2}) (y' - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.14.2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y (y' - 1) + y^{2} (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' - x y \cdot - 1 + y^{2} (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' - x y \cdot - 1 + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.14.2.1.6.1

Multipliziere $- x y \cdot - 1$ .

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Schritt 2.14.2.1.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + 1 x y + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.1.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.1.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - 1 \cdot y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.1.6.3

Schreibe $- 1 y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - y^{2}$ .

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Schritt 2.14.2.2.1

Addiere $- x y$ und $x y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + 0 + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.2.2

Addiere $y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y'$ und $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.2.3

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y' + 0}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.2.4

Addiere $- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y'$ und $0$ .

$\frac{- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y'}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.3

Addiere $- 2 y^{2} y'$ und $y^{2} y'$ .

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y'}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.2.4

Subtrahiere $x y y'$ von $3 x y y'$ .

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.14.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.14.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'$ heraus.

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Schritt 2.14.4.1.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y^{2} y'$ heraus.

$\frac{y' (- y^{2}) - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.1.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x^{2} y'$ heraus.

$\frac{y' (- y^{2}) + y' (- x^{2}) + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.1.3

Faktorisiere $y'$ aus $2 x y y'$ heraus.

$\frac{y' (- y^{2}) + y' (- x^{2}) + y' (2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.1.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- y^{2}) + y' (- x^{2})$ heraus.

$\frac{y' (- y^{2} - x^{2}) + y' (2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.1.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- y^{2} - x^{2}) + y' (2 x y)$ heraus.

$\frac{y' (- y^{2} - x^{2} + 2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.14.4.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 2.14.4.2.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{y' (- x^{2} - y^{2} + 2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.2.1.2

Stelle $- y^{2}$ und $2 x y$ um.

$\frac{y' (- x^{2} + 2 x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{y' (- x^{2} + 2 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.2.1.4

Schreibe $2$ um als $1$ plus $1$

$\frac{y' (- x^{2} + (1 + 1) (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y' (- x^{2} + 1 (x y) + 1 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.2.1.6

Mutltipliziere $x y$ mit $1$ .

$\frac{y' (- x^{2} + x y + 1 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.2.1.7

Mutltipliziere $x y$ mit $1$ .

$\frac{y' (- x^{2} + x y + x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.14.4.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{y' ((- x^{2} + x y) + x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{y' (x (- x + y) - y (- x + y))}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + y$ .

$\frac{y' ((- x + y) (x - y))}{{(- x + y)}^{2}}$

$\frac{y' (- x + y) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.14.4.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{y' (- (x) + y) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$\frac{y' (- (x) - 1 (- y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- y)$ heraus.

$\frac{y' (- (x - y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.3.4

Schreibe $- (x - y)$ als $- 1 (x - y)$ um.

$\frac{y' (- 1 (x - y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.3.5

Potenziere $x - y$ mit $1$ .

$\frac{y' \cdot - 1 ({(x - y)}^{1} (x - y))}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.3.6

Potenziere $x - y$ mit $1$ .

$\frac{y' \cdot - 1 ({(x - y)}^{1} {(x - y)}^{1})}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y' \cdot - 1 {(x - y)}^{1 + 1}}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y' \cdot - 1 {(x - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.4.4

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- y' {(x - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - y)}^{2}$ und ${(- x + y)}^{2}$ .

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Schritt 2.14.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{- y' {(- 1 (- x) - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{- y' {(- 1 (- x) - (y))}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - (y)$ heraus.

$\frac{- y' {(- 1 (- x + y))}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.5.4

Wende die Produktregel auf $- 1 (- x + y)$ an.

$\frac{- y' ({(- 1)}^{2} {(- x + y)}^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.5.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- y' (1 {(- x + y)}^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.5.6

Mutltipliziere ${(- x + y)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{- y' {(- x + y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.5.7

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- y' {(- x + y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.14.5.8

Dividiere $- y'$ durch $1$ .

$- y'$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- y' = 0$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- y' = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- y' = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- y'}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y'}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$y' = 0$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 0$