Analysis Beispiele

$y^{2} = \frac{x^{2} - 49}{x^{2} + 49}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - 49}{x^{2} + 49})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 49$ und $g (x) = x^{2} + 49$ .

$\frac{(x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x^{2} - 49] - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 49$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x + \frac{d}{d x} [- 49]) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Da $- 49$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 49$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x + 0) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 3.2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 49$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 3.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 49$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) (2 x + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 3.2.7

Da $49$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $49$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 3.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) (2 x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 3.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - 2 (x^{2} - 49) x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 49) x - 2 (x^{2} - 49) x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 49 x - 2 (x^{2} - 49) x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 49 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 49) x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 49 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 49 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} x + 2 \cdot 49 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 49 x$ .

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Schritt 3.3.5.1.1

Subtrahiere $2 x^{2} x$ von $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 \cdot 49 x + 0 - 2 \cdot - 49 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 3.3.5.1.2

Addiere $2 \cdot 49 x$ und $0$ .

$\frac{2 \cdot 49 x - 2 \cdot - 49 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 3.3.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $49$ .

$\frac{98 x - 2 \cdot - 49 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 3.3.5.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 49$ .

$\frac{98 x + 98 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 3.3.5.3

Addiere $98 x$ und $98 x$ .

$\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' = \frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = \frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$ durch $2 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = \frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Schritt 5.3.2

Kombinieren.

$y' = \frac{196 x \cdot 1}{{(x^{2} + 49)}^{2} (2 y)}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $196$ und $2$ .

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $196 x \cdot 1$ heraus.

$y' = \frac{2 (98 x \cdot 1)}{{(x^{2} + 49)}^{2} (2 y)}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus ${(x^{2} + 49)}^{2} (2 y)$ heraus.

$y' = \frac{2 (98 x \cdot 1)}{2 ({(x^{2} + 49)}^{2} (y))}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (98 x \cdot 1)}{2 ({(x^{2} + 49)}^{2} (y))}$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{98 x \cdot 1}{{(x^{2} + 49)}^{2} (y)}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.4.1

Mutltipliziere $98$ mit $1$ .

$y' = \frac{98 x}{{(x^{2} + 49)}^{2} y}$

Schritt 5.3.4.2

Stelle die Faktoren in $\frac{98 x}{{(x^{2} + 49)}^{2} y}$ um.

$y' = \frac{98 x}{y {(x^{2} + 49)}^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{98 x}{y {(x^{2} + 49)}^{2}}$