Analysis Beispiele

$\int \frac{\sqrt{2 + 9 \sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{\sqrt{2 + 9 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 + 9 x^{\frac{1}{3}}}$ als ${(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{{(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Schritt 1.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{{(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Schritt 1.4

Bringe $x^{\frac{2}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Schritt 1.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Schritt 1.5.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 1.5.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Schritt 1.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Schritt 1.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ . Dann ist $d u = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$ , folglich $- d u = \frac{- 3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$0 + 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 2.1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 2.1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 2.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 2.1.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 2.1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 2.1.3.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$0 + 9 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 2.1.3.9

Kombiniere $9$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$0 + \frac{9 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 2.1.3.10

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{9}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.3.11

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.3.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.12.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 2.1.3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.4

Addiere $0$ und $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{9} {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} + C$