Analysis Beispiele

$y^{3} e^{x} + x = y^{6} x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{3} e^{x} + x) = \frac{d}{d x} (y^{6} x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} e^{x} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3} e^{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y^{3}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$y^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$y^{3} e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$y^{3} e^{x} + e^{x} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$y^{3} e^{x} + e^{x} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y^{3} e^{x} + e^{x} (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$y^{3} e^{x} + 3 e^{x} y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y^{3} e^{x} + 3 e^{x} y^{2} y' + 1$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Stelle die Terme um.

$e^{x} y^{3} + 3 e^{x} y^{2} y' + 1$

Schritt 2.4.2

Stelle die Faktoren in $e^{x} y^{3} + 3 e^{x} y^{2} y' + 1$ um.

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} e^{x} y' + 1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y^{6}$ und $g (x) = x$ .

$y^{6} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y^{6} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $y^{6}$ mit $1$ .

$y^{6} + x \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$y^{6} + x (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$y^{6} + x (6 u^{5} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$y^{6} + x (6 y^{5} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$y^{6} + 6 \cdot x y^{5} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y^{6} + 6 x y^{5} y'$

Schritt 3.6

Stelle die Terme um.

$y^{6} + 6 y^{5} x y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} e^{x} y' + 1 = y^{6} + 6 y^{5} x y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $y^{3} e^{x} + 3 y^{2} e^{x} y' + 1$ um.

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} y' e^{x} + 1 = y^{6} + 6 y^{5} x y'$

Schritt 5.2

Subtrahiere $6 y^{5} x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} y' e^{x} + 1 - 6 y^{5} x y' = y^{6}$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $y^{3} e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' e^{x} + 1 - 6 y^{5} x y' = y^{6} - y^{3} e^{x}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' e^{x} - 6 y^{5} x y' = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

Schritt 5.4

Faktorisiere $3 y^{2} y'$ aus $3 y^{2} y' e^{x} - 6 y^{5} x y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $3 y^{2} y'$ aus $3 y^{2} y' e^{x}$ heraus.

$3 y^{2} y' e^{x} - 6 y^{5} x y' = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $3 y^{2} y'$ aus $- 6 y^{5} x y'$ heraus.

$3 y^{2} y' e^{x} + 3 y^{2} y' (- 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $3 y^{2} y'$ aus $3 y^{2} y' e^{x} + 3 y^{2} y' (- 2 y^{3} x)$ heraus.

$3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$ durch $3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$ durch $3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ .

$\frac{3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{e^{x} - 2 y^{3} x} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Schritt 5.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x} - 2 y^{3} x$ .

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Schritt 5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{e^{x} - 2 y^{3} x} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Schritt 5.5.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{6}$ und $y^{2}$ .

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Schritt 5.5.3.1.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{6}$ heraus.

$y' = \frac{y^{2} y^{4}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Schritt 5.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ heraus.

$y' = \frac{y^{2} y^{4}}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Schritt 5.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y^{2} y^{4}}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Schritt 5.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Schritt 5.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y^{2}$ .

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Schritt 5.5.3.1.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- y^{3} e^{x}$ heraus.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{y^{2} (- y e^{x})}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Schritt 5.5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ heraus.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{y^{2} (- y e^{x})}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Schritt 5.5.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{y^{2} (- y e^{x})}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Schritt 5.5.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Schritt 5.5.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Schritt 5.5.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$