Analysis Beispiele

$y = {\cos (2 x)}^{x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\cos (2 x)}^{x})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 3.1.1

Schreibe ${\cos (2 x)}^{x}$ als $e^{\ln ({\cos (2 x)}^{x})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (2 x)}^{x})}]$

Schritt 3.1.2

Zerlege $\ln ({\cos (2 x)}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\cos (2 x))}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x \ln (\cos (2 x))$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x \ln (\cos (2 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (2 x))]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (2 x))]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x \ln (\cos (2 x))$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (2 x))]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (\cos (2 x))$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (2 x))] + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (2 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (2 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\frac{1}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 x)}$ nach $\sec (2 x)$ um.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $2 x$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6.2

Die Ableitung von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $- \sin (u_{3})$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 x$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7

Differenziere.

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Schritt 3.7.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) \cdot 1)$

Schritt 3.7.6

Mutltipliziere $\ln (\cos (2 x))$ mit $1$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)))$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x)))) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$

Schritt 3.8.2

Entferne die Klammern.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} x \sec (2 x) (- 2 \sin (2 x)) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$

Schritt 3.8.3

Stelle die Terme um.

$- 2 e^{x \ln (\cos (2 x))} x \sec (2 x) \sin (2 x) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - 2 e^{x \ln (\cos (2 x))} x \sec (2 x) \sin (2 x) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 e^{x \ln (\cos (2 x))} x \sec (2 x) \sin (2 x) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$